2011届高三数学精品复习之多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。
正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。
[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。
记SO=h （h< a ），则AO=22h a -， 于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a . [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。
[巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC 的体积为： （ ） A ． 8 B ．10 C ．20 D ．30 [巩固2]对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则AD BC ⊥ ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是 。
（写出所有真命题的序号）2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；[举例]已知锐角α、β、γ满足：cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ=1,则tan αtan βtan γ的最小ABCD A 1 B 1 C 1D 1C 1 B 1 A 1AC C 2A2B图3-1图3-2A 1A CB 1C 1BH值为 。
解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ=1联想到锐角α、β、γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ,则tan αtan βtan γ=c b a b c a a c b 222222+⋅+⋅+≥cabb ac a bc 222⋅⋅ =22，当且仅当a=b=c 时，等号成立。
[巩固]已知空间三平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β所成的角都是300，则直线l 与平面γ所成的角是 。
3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。
[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的： （ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．51 解析：如图，以A 1B 和B 1C 的端点为顶点的四面体是 三棱锥A 1-BB 1C ，将原平行六面体视为四棱柱 ADD 1A 1-BCC 1B 1，易见三棱锥的底面积是四棱柱 的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是四棱柱的体积的61，选A 。
[举例2] 如图3-1是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．求此几何体的体积．（07高考江西理20）解析：过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别 交1AA ,1CC 于2A ,2C ．如图3-2， 原几何体可视为四棱锥B-ACC 2A 2 与三棱柱A 1B 1C 1-A 2BC 2的组合体。
作22BH A C ⊥于H ，则BH 是四棱锥 的高，22BH =，21222)21(2131312222=⋅+⋅⋅=⋅=-BH S V A ACC A ACC B 111122111BB S V C B A BC A C B A ⋅=∆-=1；故所求几何体体积为23。
[巩固1]在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，侧面BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，求平面C 1AB 1把棱柱分成两部分的体积的比。
[巩固2] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是 边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33 C ．34 D ．23 4．解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用侧面展开法，转化为平面图形两点间距离处理。
（多面体展开时要注意各种不同的展开方式）。
[举例] 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，∠ABC=900，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，求沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度。
解析：题中E 、F 分别在AA 1、C 1B 1上，所以“展开”后的图形中必须有AA 1、C 1B 1；故“展开”方式有以下四种：（ⅰ）沿CC 1将面ACC 1A 1和面BCC 1B 1展开至同一平面，如图4-1，求得：EF 2=22211+；（ⅱ）沿BB 1将面ABB 1A 1和面BCC 1B 1展开至同一平面，如图4-2，求得：EF 2=2227+； （ⅲ）沿A 1B 1将面ABB 1A 1和面A 1B 1C 1展开至同一平面，如图4-3，求得：EF 2=227+； （ⅳ）沿A 1C 1将面ACC 1A 1和面A 1C 1B 1展开至同一平面，如图4-4，求得：EF 2=29； 可见EF 的最小值为223。
[巩固]在正三棱锥S-ABC 中，SA=1，∠ASB=300，过点A 作三棱锥的截面AMN ，求截面AMN 周长的最小值.5．平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面圆的半径、圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。
EFABC1C 1 B 1EACA 1 1FC 1图4-1EAB11FB 1图4-2EAA 11B 1图4-3EACA 1B 1FC 1图ABCPACPBABCD PO O 1[举例]如图，已知A ，B ，C 是表面积为48π的球面上的 三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600，O 为球心，则二面角O-AB-C 的大小为： （ ） A ．3π B ．4π C ．arccos33 D ．arccos 1133 解析：球的半径为32；⊿ABC 为直角三角形，斜边BC 是其外接圆的直径，记BC 的中点为O 1，则OO 1⊥面ABC ，在Rt ⊿OO 1B 中，OB=32， BO 1=2，∴OO 1=22；取AB 中点D ，连OD 、O 1D ，则AB ⊥OD ，AB ⊥O 1D ， ∴∠ODO 1是二面角O-AB-C 的平面角，在Rt ⊿ABC 中O 1D=21AC=3 故在Rt ⊿OO 1D 中，OD=11,cos ∠ODO 1=113,∴∠ODO 1= arccos1133,选D 。
[巩固]过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为 。
6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。
[举例1] 三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA=AC=2，则该三棱锥的外接球的体积是 。
解析：思路一：“找球心”（到三棱锥 四个顶点距离相等等的点）。
注意到PC 是Rt ⊿PAC 和Rt ⊿PBC 的 公共的斜边，记它的中点为O ， 则OA=OB=OP=OC=21PC=1，即该三棱锥 的外接球球心为O ，半径为1，故它的体积为：π34 方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC 是其外接球的直径。
[举例2]正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上， 若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则 这个球的表面积为 。
解析：正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上， 记为O ，PO=AO=R ，PO 1=4，OO 1=R-4，或OO 1=4-R （此时O在PO 1的延长线上），在Rt ⊿AO 1O 中，R 2=8+(R-4)2得R=3，∴球的表面积S=36π[巩固1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。
[巩固2] 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （07高考陕西理6）（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 123[迁移]点P 在直径为2的球面上，过P 两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是 。
7．球面上两点间的球面距离是“球心角”（两点与球心的连线段的夹角）的弧度数与球的半径的积。