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2.2.1椭圆及其标准方程(第一课时)


如图:
|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦
MF1 MF2 2a 2c
M
点。
• 两焦点之间的距离叫做焦 距(2c)。
F1
2c
F2
y
M (x,y)
如图所示:F1、F2为两定点,且
|F1F2|=2c,求平面内到两定点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)
的动点M的轨迹方程。
解:以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴
问题: 求曲线方程的基本步骤? 设 M x,y)为所求轨迹上的任意一点, ( 1( )建系设点 ; (2)写出条件; (3)列出方程; (4 即 ()化简方程; x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a (5)下结论。
2
则( x c )2 y 2 4a 2 4a ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2
∵2a>2c>0,即a>c>0,∴a2-c2>0, 两边同除以a2(a2-c2)得:
P
M (x,y)
x y 2 2 1 ① 2 a a c
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
2.椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M
|MF1|+|MF2|=2a
y
F2
M
图 形
F1
o
F2 x
o
F1
x
焦点及位置 判定
焦点F1 (c,0), F2 (c,0)
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
y 2 x2 2 1 a b 0 2 a b
标准方程
a,b,c之间
的关系
c
2 , 所以 b 2
a c 10 4 6.
2 2
x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 1. 10 6
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),
5 3 并且经过点 ( , ) , 求它的标准方程. 2 2 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
如果把细绳的两端的距离拉大,那是否还能画出椭圆?
结论:绳长记为2a,两定点间的距离记为2c(c≠0).
(1)当2a>2c时,轨迹是 椭圆 (3)当2a<2c时, 无轨迹 ; ;
(2)当2a=2c时,轨迹是以F1、 F2为端点的线段

二、基础知识讲解
1.椭圆定义:
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面上到两个定点的距离
的和等于定长2a,(大于
x y 2 1 a b 0 2 a b
2
2
a 2 b2 c 2
五、布置作业
作业:课本P49 习题2.2 A组 1. 2. 练习:创新设计P24~25 课后优化训练
答案: 1. 2.
2
a sin( ) a sin( ) AC sin180 ( ) sin( )
a b 4
2

求椭圆标准方程的解题步骤:
(3)用待定系数法确定a、b的值,
写出椭圆的标准方程 1. . 因此, 所求椭圆的标准方程为
x 10
2
y 6
2
四、针对性训练
(一)补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则 动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它的两端 都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么图形?
引例:
平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.
思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢?
探究:若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉紧绳子,再移动笔尖一 周,这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢?
F1
O
F2
x
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
这里c 2 a 2 b2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
x
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
这里c a b
2 2
2
思考:方程Ax2+By2=C何时表示椭圆?
2
2
F1 (-c,0) O
F2(c,0) x
2 2 可得 | PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO | a c
令b | PO | a 2 c 2
x2 y2 那么①式 2 1 (a>b>0) 2 a b
2.椭圆的标准方程 y
M
焦点F1 (c,0), F2 (c,0)
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 2 1 (a b 0). 2 a b 由椭圆的定义知
2
2
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2 所以 a 10 .
又因为
3.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) , 能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2
2
B. 6 10cm D. 20cm 2
2
C. 3 55cm
建立直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}
如何化简?
( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2
( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2
x2 y2 2 1 (a b 0). 2 a b
2
又 焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0) c 2
2 3 2 (5 ) ( 2 2 ) (1)确定焦点的位置; ② 又由已知 2 2 1 a b (2)设出椭圆的标准方程; 联立①②, 解得a 2 10,b 2 6
x y 8. P是椭圆 1上的点,F1和F2是焦点,则 4 3 4 ,最小值是_____. 3 k PF1 PF2 的最大值是____
2
2
四、小结巩固
1.椭圆的定义:

平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于2c)的点的轨迹叫椭圆。

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。
x2 y2 (1)方程 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 5 4k
取值范围.
(2)方程
2
k>5/4
2
x y 1表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, 5 4k
k=1/4
求k的值.
四、针对性训练
(二)创新设计P24~25 课后优化训练 2. 3. 7. 8.
x2 2.已知ABC的顶点B、C在椭圆 y 2 1上,顶点A 3 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC 上,则ABC的周长为( B A.2 3 B.4 3 ) D.16 C.6
答:A、B、C同号且A、B不相等时。
2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 1 , 25 16 则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
三、例题分析
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为
(-3,0)、(3,0)
,
焦距为 6 。
2 2 x y (3)若椭圆方程为 1 , 16 25
其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
3.当直线y kx 2的倾斜角大于45小于90时,它和 曲线2 x 2 3 y 2 6的公共点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定
7.? 地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地 面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为 m-n R,那么这个椭圆的焦距为___________ 千米.
你能在图中找出 怎样判断a, b, c大小关系? 整理得a cx a ( x c )2 y 2 2 2, 表示a4,c, a c 两边平方得: a 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2 的线段吗? y 整理,得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
.
2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 1 , 25 16
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,
则点P到右焦点的距离是 4
(5)若CD为过左焦点F1的弦, 则∆CF1F2的周长为 16 ,

C
F1 D
F2
∆F2CD的周长为 20

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ), 求它的标准方程.
变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则
动点P的轨迹为( B )
(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则
动点P的轨迹为( D )
2 2 x y 2.方程 1表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4 变式:
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