初中数学试卷期末复习(三) 因式分解01各个击破命题点1 因式分解的概念【例1】(济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( )A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)【方法归纳】因式分解是把一个多项式由和差形式化为乘积形式的恒等变形，因式分解的结果应与原多项式相等．1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是( )A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为________．命题点2 直接用提公因式法因式分解【例2】因式分解：(7a－8b)(a－2b)－(a－8b)·(2b－a)．【思路点拨】注意到(a－2b)与(2b－a)互为相反数，可把(2b－a)化为－(a－2b)，再提取公因式(a－2b)．【解答】【方法归纳】提公因式时，不能只看形式，而要看实质．对于互为相反数的项可通过提取一个“－”号后再提取公因式．3．因式分解：(1)2x2y2－4y3z；(2)3(x＋y)(x－y)－(x－y)2；(3)x(x－y)3＋2x2(y－x)2－2xy(x－y)2.命题点3 直接用公式法因式分解【例3】因式分解：－(x＋2y)2＋(2x＋3y)2.【思路点拨】把原式中的两项交换位置，把两个多项式看作一个整体，用平方差公式因式分解．【解答】【方法归纳】用平方差公式因式分解时，如果其中的一项或两项是多项式，可把这个多项式看作一个整体用括号括起来，这样能减少符号出错．4．因式分解：(1)x2－25；(2)(x＋y)2－6(x＋y)＋9.命题点4 综合运用提公因式法与公式法因式分解【例4】因式分解：12a2－3(a2＋1)2.【思路点拨】先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．【解答】【方法归纳】因式分解的一般步骤：(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．5．因式分解：(1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2；(2)a 3(x ＋y)－ab 2(x ＋y)；(3)9(a －b)2－(a ＋b)2.命题点5 因式分解的运用【例5】 先因式分解，再求值：(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2－x(2x ＋1)(2－3x)，其中x ＝32. 【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x －2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．【解答】【方法归纳】 此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．6．已知a2＋a＋1＝0，求1＋a＋a2＋…＋a8的值．7．用简便方法计算：(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．从左到右的变形，是因式分解的为( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)2．(临沂中考)多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( ) A．x－1 B．x＋1C．x2－1 D．(x－1)23．下列四个多项式，能因式分解的是( )A．a－1 B．a2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋94．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)5．把－8(x －y)2－4y(y －x)2因式分解，结果是( )A ．－4(x －y)2(2＋y)B ．－(x －y)2(8－4y)C ．4(x －y)2(y ＋2)D ．4(x －y)2(y －2)6．若多项式x 2＋mx ＋4能用完全平方公式因式分解，则m 的值可以是( )A ．4B ．－4C ．±2D ．±47．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2b ＋ab 2等于( )A ．5B ．6C ．9D ．18．已知(19x －31)(13x －17)－(13x －17)(11x －23)可因式分解成8(ax ＋b)(x ＋c)，其中a ，b ，c 均为整数，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－5B ．－12C ．38D ．72二、填空题(每小题4分，共16分)9．多项式2(a ＋b)2－4a(a ＋b)中的公因式是________．10．(珠海中考)填空：x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2.11．(枣庄中考)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为________． 12．(北京中考)因式分解：5x 3－10x 2＋5x ＝________．三、解答题(共60分)13．(16分)因式分解：(1)12a 2b －18ab 2－24a 3b 3；(2)a 3－9a ；(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ；(4)16(a －b)2＋24(b 2－a 2)＋9(a ＋b)2.14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．(8分)先因式分解，再求值：已知a ＋b ＝2，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．16．(10分)利用因式分解计算：(1)9992＋999；(2)6852－3152.17．(10分)已知多项式a 2＋ka ＋25－b 2，在给定k 的值的条件下可以因式分解．(1)写出常数k 可能给定的值；(2)针对其中一个给定的k 值，写出因式分解的过程．18．(10分)试说明：不论a ，b ，c 取什么有理数，a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．参考答案各个击破【例1】 B【例2】 原式＝(7a －8b)(a －2b)＋(a －8b)(a －2b)＝(a －2b)(7a －8b ＋a －8b)＝(a －2b)(8a －16b)＝8(a －2b)2.【例3】 原式＝(2x ＋3y)2－(x ＋2y)2＝[(2x ＋3y)＋(x ＋2y)][(2x ＋3y)－(x ＋2y)]＝(3x ＋5y)(x ＋y)．【例4】 原式＝3[4a 2－(a 2＋1)2]＝3[(2a)2－(a 2＋1)2]＝3[2a ＋(a 2＋1)][2a －(a 2＋1)]＝－3(a ＋1)2(a －1)2.【例5】 原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30. 题组训练1．C 2.－23.(1)原式＝2y 2(x 2－2yz)．(2)原式＝(x －y)[3(x ＋y)－(x －y)]＝(x －y)(2x ＋4y)＝2(x －y)(x ＋2y)．(3)原式＝x(x －y)2[(x －y)＋2x －2y]＝3x(x －y)3.4.(1)原式＝(x －5)(x ＋5)．(2)原式＝(x ＋y －3)2.5.(1)原式＝3a(x 2＋2xy ＋y 2)＝3a(x ＋y)2.(2)原式＝a(x ＋y)(a 2－b 2)＝a(x ＋y)(a ＋b)(a －b)．(3)原式＝(3a －3b ＋a ＋b)(3a －3b －a －b)＝(4a －2b)(2a －4b)＝4(2a －b)(a －2b)．6.原式＝(1＋a ＋a 2)＋a 3(1＋a ＋a 2)＋a 6(1＋a ＋a 2)＝(1＋a ＋a 2)(1＋a 3＋a 6)，因为a 2＋a ＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a 3＋a 6)＝0.7.(1)原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 4567892－123 456 7892＋12＝1.(2)原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55. 整合集训1．D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.2(a ＋b) 10.25 5 11.1212.5x(x －1)2 13.(1)原式＝6ab(2a －3b －4a 2b 2)．(2)原式＝a(a 2－9)＝a(a ＋3)(a －3)．(3)原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．(4)原式＝16(a －b)2－24(a －b)(a ＋b)＋9(a ＋b)2＝[4(a －b)－3(a ＋b)]2＝(a －7b)2.14.原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2.当a ＋b ＝2，ab ＝2时，原式＝12×2×4＝4. 16.(1)原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.(2)原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.17.(1)由已知得(a 2＋ka ＋25)为一个平方项，则k 可能取的值有±10.(2)令k ＝10，则原多项式可化为(a ＋5)2－b 2，则因式分解得(a ＋5＋b)(a ＋5－b)．18.a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)]＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]≥0. 所以a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．。