1 2 3 σ1 = 1 2 3 1 2 3 σ4 = 1 3 2 1 2 3 σ2 = 2 1 3 1 2 3 σ5 = 2 3 1 1 2 3 σ3 = 3 2 1 1 2 3 σ6 = 3 1 2
显然G是无限循环群，所以只有两个生成元： 和 。 显然 是无限循环群，所以只有两个生成元：3和-3。 是无限循环群
定理6.16 设G=<a>是n阶循环群，k是一个正整数，则 是一个正整数， 定理 是 阶循环群， 是一个正整数
n o( a ) = ( k , n)
k
加法群Z 是一个循环群， 是生成元 是生成元, 例3 加法群 36是一个循环群，[1]是生成元
36 [6]的加法阶为 (6,36) = 6 ， 的加法阶为 36 [8]的加法阶为 (8,36) = 9 的加法阶为
。
练习：求出（ ，＋）的每一个元素的阶与所有生成元 的每一个元素的阶与所有生成元。 练习：求出（Z12，＋）的每一个元素的阶与所有生成元。 解： 元素 0 1 2 阶 1 12 6 3 4 4 5 6 7 8 3 12 2 12 3 9 10 11 4 6 12
−1
3、置换的轮换分解
n元置换也可以用轮换来表示。 元置换也可以用轮换来表示。 元置换也可以用轮换来表示
} 定义1 上的n元置换 元置换， 定义 设σ是 S = {1, 2,… , n上的 元置换， 是 若σ (i1 ) = i2， (i2 ) = i3 ，…，(ik −1 ) = ik ，(ik ) = i1 ，且保 ， σ σ σ 中的其它元素不变， 称为S上的 阶轮换， 持S中的其它元素不变，则σ称为 上的 阶轮换，记 中的其它元素不变 称为 上的k阶轮换 k=2，这时σ也称为 上的对换。 也称为S上的对换 作 (i1i2i3 …ik -1ik ) 。若k=2，这时σ也称为S上的对换。
1 2 3 4 5 6 例： σ = 7 将 为 相 轮 的 积 表 不 交 换 乘 。 4 3 6 1 5 2
1 2 3 4 5 6 解 σ = ： 14)(236)(5). =( 4 3 6 1 5 2
为了使得轮换表示更为简洁，通常省略其中的 阶轮换 阶轮换， 为了使得轮换表示更为简洁，通常省略其中的1阶轮换， 中的置换又可以表示成： 例7中的置换又可以表示成： 中的置换又可以表示成
2．置换
定义2 定义 设 S = {1, 2,… , n}，S上的任何双射函数 σ : S → S 称 上的任何双射函数 上的n元置换 为S上的 元置换，记为 上的 元置换，
2 ⋯ n 1 σ = σ (1) σ (2) ⋯ σ (n) 1 2 ⋯ n 特别的， 上的恒等置换， 特别的，称σ = 上的恒等置换 为S上的恒等置换，记为 I S 。 1 2 ⋯ n
< 即 < 0 >= {0} = 0Z ， n >= {nz | z ∈ Z } = nZ ， n ∈ N 。
(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对 的每个正因子 ，恰好 的每个正因子d， 是 阶循环群，则对n的每个正因子 含有一个d阶子群 阶子群。 含有一个 阶子群。
阶循环群。 的正因子有 的正因子有1、 、 例5 G =< Z12 , ⊕ >是12阶循环群。12的正因子有 、2、 阶循环群 3、4、6和12，因此 的子群有 个，分别是 的子群有6个 、 、 和 ，因此G的子群有
f ( x ) = ax + b, ∀x ∈ R
证明 G = { f | f ( x) = ax + b，∀a, b ∈ R，a ≠ 0}关于变换复合运 构成变换群。 算 构成变换群。 当集合S是有限集时， 的一一变换可以表示成 的一一变换可以表示成n元置换的 当集合 是有限集时，S的一一变换可以表示成 元置换的 是有限集时 形式。 形式。
−1
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 例： σ = 5 设 τ ， = ， 1 5 3 6 4 2 3 2 5 4 6 1 求 −1， −1 σ στσ 。
1 2 3 4 5 6 解 σ = ： ， 1 6 3 5 2 4
−1
1 2 3 4 5 6 στσ = . 3 1 4 2 5 6
4、置换群及其子群
上的n!个置换构成集合 定理 设S={1,2,…,n}，S上的 个置换构成集合 n，在 ， 上的 个置换构成集合S Sn上规定二元运算 ，对任意n元置换 σ，τ∈Sn，运算 表 对任意 元置换 ， ∈ 的复合， 关于置换的复合构成一个群。 复合构成一个群 示σ和τ的复合，则Sn关于置换的复合构成一个群。 和 的复合 定义 设S={1,2,…,n} ， S上的 个置换构成集合 n ，则 上的n!个置换构成集合 上的 个置换构成集合S 构成的群< 上的n元对 称Sn与置换的复合运算 构成的群 Sn ， >为S上的 元对 为 上的 称群， 的任意子群称为S上的 称群，< Sn ， >的任意子群称为 上的 元置换群。 的任意子群称为 上的n元置换群。
定义3 元置换， 也是n元置换 元置换， 定义 σ和τ是n元置换，则σ和τ的复合στ也是 元置换， 元置换 的乘积。 称στ为σ和τ的乘积。 为 和 的乘积
1 2 3 1 2 3 例 设 = 4： σ τ 计 στ τσ ， = ； 算 ， 。 1 3 2 2 1 3
1 2 3 1 2 3 解 στ = ： ； 3 1 2 τσ = 2 3 1.
，＋）的生成元为 的生成元为： ， ， ， 。 （Z12，＋）的生成元为：1，5，7，11。
定理2 关于循环群的子群，有如下的性质： 定理 关于循环群的子群，有如下的性质： (1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群。 是循环群， 的子群仍是循环群。 是循环群 的子群仍是循环群 循环群， 的子群除{e}以外都是无 (2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除 以外都是无 的子群除 是无限循环群 限循环群。 限循环群。 循环群， 例4 <Z，+>是无限循环群，则其子群除了 以外都 ， 是无限循环群 则其子群除了{0}以外都 是无限循环群， 是无限循环群，如Z，2Z，3Z，…，nZ。 ， ， ， ， 。
二、置换群 1．变换群 ．
定义1 集合S上的所有一一变换组成的集合 上的所有一一变换组成的集合E(S)，关于 定义 集合 上的所有一一变换组成的集合 ， 称为S的 变换的复合运算 所构成的群 < E ( S ), > ，称为 的一一变 的子群称为变换群。 换群。 换群。 < E ( S ), > 的子群称为变换群。 例1 设 ∀a, b ∈ R a≠0，规定 的变换 且 ，规定R的变换
σ = (14)(236)
定理6.5 任一置换都可以表示成若干个对换的乘积。 任一置换都可以表示成若干个对换的乘积。 定理
练习 设 S = {1, 2, 3, 4, 5} ，5元置换 元置换 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 σ = τ = 2 1 4 5 3 4 3 1 2 5 −1 σ −1 (1) 求 στ ，τ σ ， τσ 。 (2) 将(1)的结论表示成不相交的轮换之积。 的结论表示成不相交的轮换之积。 的结论表示成不相交的轮换之积
例2 设 S = {1, 2,3, 4,5} ，则
1 2 3 4 5 τ = 4 3 1 2 5 1 2 3 4 5 和 σ = 5 3 2 1 4
都是5元置换。 都是 元置换。 元置换
n元集合上有 ！种置换。 元集合上有n！种置换。 元集合上有 上有3!=6种不同的置换。 种不同的置换。 例3 {1,2,3}上有 上有 种不同的置换
定义4 对于n元置换 元置换α，若存在n元置换 元置换β， 定义 对于 元置换 ，若存在 元置换 ，使得
α β = β α = IS
则称β为 的逆置换 记为α 的逆置换， 则称 为α的逆置换，记为 -1 。
，
1 2 ⋯ n 的 元 其 置 置 σ = 换 逆 为 逆 换 i1 i2 ⋯ in
例2 (1) 设G = {e, a, a 2 ,… , a11} 是12阶循环群，求其生成元。 阶循环群，求其生成元。 阶循环群 因为小于等于12并与 互素的正整数为 因为小于等于 并与12互素的正整数为 、5、7和11， 并与 互素的正整数为1、 、 和 ， 所以其生成元为a、 所以其生成元为 、a5、a7和a11。 (2) 设< Z 9 , ⊕ > 是模 的整数加法群，求其生成元。 是模9的整数加法群 求其生成元。 的整数加法群， 小于等于9并与 互素的正整数为 小于等于 并与9互素的正整数为 、2、4、5、7和8， 并与 互素的正整数为1、 、 、 、 和 ， 所以其生成元为1、 、 、 、 和 。 所以其生成元为 、2、4、5、7和8。 (3) 设G = {3z | z ∈ Z } G上的运算是普通加法，求其生成元。 上的运算是普通加法， ， 上的运算是普通加法 求其生成元。
定义2 为循环群， 是 的生成元 的生成元， 定义 设<G，*>为循环群，a是G的生成元，若|a|=n， ， 为循环群 ， 则称G为 阶循环群 阶循环群， 则称 为n阶循环群，此时G = {e, a, a 2 ,… , a n −1} 若a是无限阶 ； 是无限阶 则称G为无限循环群 为无限循环群。 元，则称 为无限循环群。 它的生成元可能不止一个， 对于一个循环群 G =< a >，它的生成元可能不止一个， 如何求出它的所有生成元呢？请看下面的定理。 如何求出它的所有生成元呢？请看下面的定理。 定理1 设G=<a>是循环群 定理 是循环群 (1) 若G=<a>是无限循环群，则G只有两个生成元， 是无限循环群， 只有两个生成元， 是无限循环群 只有两个生成元 即a和a-1。 和 (2) 若G=<a>是n阶循环群，即 G = {e, a, a 2 ,… , a n −1} ，G 阶循环群， 是 阶循环群 的生成元是a 当且仅当t与 是互质的 易知n阶循环群的 是互质的。 的生成元是 t当且仅当 与n是互质的。易知 阶循环群的 生成元的个数=φ(n)。 生成元的个数 。