绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．ADCBCDBCADAC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．2 3 5 3e1 3．e14．15．16．0<a <1 或 a4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 1 7．解：（1） f (x ) = (cos x −sin x )2 − 2sin 2 x= = 1− 2sin x cos x − 2sin 2 xcos 2x − sin 2x= 2 cos(2x + ) ， ……………………………………………4 分42∴ T = = ，2即 f (x ) 的最小正周期为 . ……………………………………………………5 分 2k + ]，k Z ∵ ∴ y = cos x 的单调递减区间为[ 2k ， ∈ ，3 由 2k ≤2x + ≤ 2k + ， ∈ ，解得 kZ k − ≤ ≤ x k + ，k ∈Z ， 48 83 ∴ f (x ) 的单调递减区间为[ k − ， k + ]，k ∈Z ． ……………………7 分8 8 2）由已知 f (x )= 1，可得 − 2 cos(2x + ) = −1， ………………………10 分 （ 0 042即 cos(2x 0 + ) = −， 4 27 3再由 x 0 (− ，− ) ，可得 2x + (− ，− ) ，0 2 4 4 4 5+ = − ∴ 2x 0 ，4 43解得 x = − ．………………………………………………………………12 分0 41 8．解：（1）设数列{a }的公差为 d ，则 a =a +d ，a =a +4d ， ………………1 分2 1 5 1n ∵ ∴ a ，a ，a 成等比数列， 1 25 a 2=a a ，即(a +d )2=a (a +4d )，2 1 5 1 1 1 整理得 d 2=2a d ，解得 d =0（舍去）或 d =2a =2，1 1 ∴ a =a +(n -1)d =2n -1.…………………………………………………………4 分n1当 n 1时，= b = 2 ，1 当 n ≥2 时， b = S − S = 2n +1 − 2 − (2 n − 2) = 2 2 − 2 2n ．……………………………………………8 分n nn −1 = 2 n +1 − 2n n n = 2 .n∴ （ 数列{b }的通项公式为 b = nn= 22n −1 + n ，………………………………………………9 分2）由（1）得， c nT = (2+1) + (23 + 2) + (25 +3) +n1+ n )= (2+ 23 + 25 +(1− 4n ) n (1+ n ) 2=+ 1 − 4 2 2 2n 1+ − 2 n 2 + n = + ． ………………………………………………………12 分3 21 9．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即 B =π-(A +C )， ∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 2 cos B =sin B +1． …………………………………………………3 分 两边平方可得 2cos 2B =sin 2B +2sin B +1， 根据 sin 2B +cos 2B=1， 可整理为 3sin 2B+2sin B -1=0，1解得 sin B = 或 sin B =-1（舍去）．……………………………………………5 分3 1∴ sin B = ．……………………………………………………………………6 分3− A = A + B + C = 2A = − B （ 2）由 C ，且 ，可得 ，C 为钝角，2 2sin 2A = cos B ， ∴ 又 b = 3 ，a b c= = = 3 3 ，由正弦定理得 sin A sin B sin Ca 3 3 sin A ， c = 3 3sin C = ∴ ．2 2 又 C 为钝角，由（1）得 cos B = ． ………………………………………9 分31 12 1= ac sin B= 3 3 sin A 3 3sin C ∴ △ABC 的面积为 S 2 39 sin A sin( + A ) = sin A cos A 9= 2 2 2 9 4 9 9 4 2 2 3 2= sin 2A = cos B = =， 4 32 3 2综上所述，△ABC 的面积为 ． …………………………………………12 分2 10．解：（1）当 a =1 时， f (x ) = x 3 − x + 2 ，则 f (x ) x = 2 −1= (x 1)(x 1) ，− + 2 3由 f (x ) >0，得 x <-1 或 x >1；由 f (x ) <0，得-1<x <1， ……………………3 分 ∴ ∴ （ f (x ) 在 (− ，−1) 上单调递增，(-1，1)上单调递减， (1，+ ) 上单调递增．4 8 f (x ) 的极小值为 f (1) = ，极大值为 f (−1)= ． …………………………5 分33 = − + 2） f (x ) (x a )(x 1)当 a ≤1 时， f (x ) 在 [1，2]单调递增，2 0∴ f (x ) 最大值为 f (2)= − 4a = 2，37解得 a = （舍）； ………………………………………………………………7 分6当 1<a <2 时， f (x ) 在 [1，a ) 上单调递减，在 (a ，2]上单调递增， ∴ f (x ) 最大值为 f (1) 或 f (2) ，1 7 3a5 由 f (1) = − = 2 ，解得 a = （舍），6 29 7由 f (2) = 2 ，解得 a = ． ……………………………………………………10 分当 a ≥2 时， f (x ) 在 [1，2]单调递减，61 7 3a= − = 2 ，∴ f (x ) 最大值为 f (1) 6 2 5解得 a = （舍）．97综上所述： a = ． (12)分 61．解：（1）由题意得 f (x ) = e x − 2ax = x (e x − 2a ) ，令 h (x ) = e x 2， xx e x (x −1)=则 h (x ) ． ……………………………………………………………2 分 x 2h (x ) h (x ) → ∞，h (x )<0 x 0 + ∴ 当 0<x <1 时，得 ，此时 单调递减，且 → ， h (x ) →+∞，h (x ) 当 x >1 时，得h (x )>0 ，此时 单调递增，且 → ∞， x + h (x ) ∴ min =h (1)=e ．ef (x ) 在(0， ∞ 上是增函数，当 2a ≤e ，即 a ≤ 时， f (x ) ≥ ，于是 0 + )① 2 f (x ) 在(0， ∞ 上无极值． + ) 从而 e 当 2a >e ，即 a > 时，存在 0<x <1<x ，使得f (x ) = f (x ) =0 ，② 12 1 2 2 f (x ) f (x ) 且当 x ∈(0，x )时， f (x ) >0 ， 在(0 ，x )上是单调递增；11当 x ∈(x ，x )时， f (x ) <0 ， 在(x 1，x )上是单调递减； 1 2 2 f (x ) 在(x ， ∞ 上是单调递增，当 x ∈(x ，+∞)时， f (x ) <0 ， + )2 2 故 x 是f (x ) 在(0， ∞ 上的极小值． + ) 2 e综上， a ． …………………………………………………………………6 分2（ 2）由(1)知，f (x )的极大值为 M =f (x )>f (0)=1． …………………………8 分e x 0 x e x − ax2 = ex − x 2 = e x (1− 0 )，x (0，1)，又 M =f (x )=0 00 0 0 2 x 0 2令 ( ) e (1 g x = x− x )，x(0，1) ，2 1 = (1− x 0，则 ∴ g (x ) x )e ……………………………………………………10 分2 g (x )在区间(0，1)上单调递增，eg (x ) g (1) = ∴∴ ．2e1 M ． ………………………………………………………………12 分222．解：（1）由题意得 x 2 + y 2 = (cos + 3 sin )2 + (sin − 3 cos )2 = 4 ， x + y = 4 ． …………………………………………2 分 2 ∴ 曲线 C 的普通方程为 2 ∵ ∴ x = cos ， y = sin ，代入可得曲线 C 的极坐标方程为 = 2 ． ………………………………5 分 2）把 = 代入 ρcos( − )=3 中，（ 3 6可得 ρcos( − )=3，解得 ρ= 2 3 ，3 6即 B 点的极径 = 2 3 ， B 由（1）易得 =2，A ∴ |AB |=| - |= 2 3 -2． ………………………………………………10 分AB2 3．解：（1）当 m =2 时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当 x ≤-1 时， f (x ) = −(x − 2) − (x +1) − 5 0 ，解得 x ≤-2； ……………………………………………………………………1 分 当-1<x <2 时， f (x ) = −(x − 2) + x +1− 5 ≥0，无解．…………………………3 分 当 x ≥2 时， f (x ) = x − 2 + x +1− 5 ≥0， 解得 x ≥3；……………………………………………………………………4 分综上，原不等式的解集为 (− ，− 2] ，． ………………………………5 分2）∵ f (x ) =| x − m | + | x +1| −5 ≥ | (x − m ) − (x +1) | −5| m +1| −5 ≥-2，（ = ∴ ∴ | m +1| ≥3， …………………………………………………………………8 分 m +1≥3 或 m +1≤-3， 即 m ≥2 或 m ≤-4，实数 m 的取值范围是( − ∴ ，-4]， ． ……………………………10 分。