2015年高考文科数学试卷全国1卷
1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为
( )
（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )
（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)
3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）
（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A ）
310 （B ）15 （C ）110 （D ）120
5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )
（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛
7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）
（A ）
172 （B ）
192
（C ）10 （D ）12 8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13(,),44
k k k Z ππ-
+∈ （B ）13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44
k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）
（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12
10．已知函数1222,1()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ） （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14
- 11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图
中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
12．设函数()y f x =的图像与2
x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )
（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4
13．数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .
14．已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .
15．若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则z=3x+y 的最大值为 ．
16．已知F 是双曲线2
2:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．
17．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.
（Ⅰ）若a b =，求cos ;B
（Ⅱ）若90B =o ，且2,a = 求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）若120ABC ∠=o ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为
63
积.
19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x r y u r w u r 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中i w i x ，w u r =188
1i
i w =∑ （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（Ⅰ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： µ121()()=()n
i i
i n i
i u u v v u u β==---∑∑，µµ=v u αβ-
20．（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN .
21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.
（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln
f x a a a
≥+.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB 是直径，AC 是切线，BC 交与点E.
（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是
切线； （Ⅱ）若3OA CE =
，求ACB ∠的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4
θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
（Ⅰ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（Ⅱ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值。