2019-2020学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用导学案新人教A版选
修2-2
[学习要求]
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
[学法指导]
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.
1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.
2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积
S＝__________.
3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线
y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝_____________.(如图)
探究点一求不分割型图形的面积
问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
探究点二分割型图形面积的求解
问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.
跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13
x 所围成图形的面积．
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112
，试求： 切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．
跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为
面积
相等的两部分，求k 的值．
[达标检测]
1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有(
)
S ＝ʃa b [f(x)－g(x)]dx S ＝ʃ80 (22x －2x ＋8)dx S ＝ʃ41f(x)dx －ʃ74f(x)dx ① ② ③
④
A ．①③ B．②③ C．①④ D．③④
[]+-=⎰x x f x g S a d )()(0
[]x
x g x f b
a d )()(⎰-
2．曲线y ＝cos x(0≤x≤32
π)与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．2
B ．3 C. 52 D ．4
3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________．
4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．。