第9节 圆锥曲线的综合问题课标要求运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题（尤其是椭圆与抛物线的简单应用），感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.知识衍化体验知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，通常是联立直线l 与圆锥曲线C 的方程，判断其方程组解的个数.设直线:l y kx b =+（注：需讨论斜率k 不存在的情况；若设直线:l x my n =+，也需讨论y h =这种情况），圆锥曲线:(,)0C F x y =，即 (,)0y kx b F x y =+⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=， （1）当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆，则：0∆>⇔直线l 与圆锥曲线C _______； 0∆=⇔直线l 与圆锥曲线C _______； 0∆<⇔直线l 与圆锥曲线C _______；（2）当0,0a b =≠时，即得一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，圆锥曲线C 是双曲线或抛物线.若圆锥曲线C 是双曲线，则直线l 与双曲线的一条渐近线的位置关系是________；若圆锥曲线C 是抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________. 2.圆锥曲线的弦长设直线:l y kx b =+与圆锥曲线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB =______________；同理，若设直线:l x my b =+，则AB =______________.特别地，若直线l 过圆锥曲线C 的焦点，则可由第二定义推导焦半径公式再求弦AB 的长.微点提醒1.直线与椭圆的位置关系有下列结论（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； （2）过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； （3）过椭圆内一点的直线总与椭圆相交； 2.直线与抛物线的位置关系有下列结论（1）过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；（2）过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；（3）过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线；基础自测疑误辨析1.判断下列命题的真假（在括号内打“√”或“⨯”（1）直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点.（ ）（2）直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点.（ ） （3）直线l 与抛物线C 相切的充要条件是直线l 与抛物线C 只有一个公共点.（ ）（4）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点的直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则弦122()AB a e x x =-+（其中e 为椭圆C 的离心率）.（ ） 教材衍化2. （选修2-1P67练习6改编）直线:21l y x =+与抛物线2:4C x y =交于,A B 两点，则AB =_______.3. （选修2-1P67习题2改编）已知椭圆22:143x y C +=与点(1,)P m ，则过点P 的直线l 与椭圆C 总有两个交点的充分不必要条件有（ ） A ．1m = B ．11m -<< C ．3322m -<< D ．3322m -≤≤ 考题体验4.（2018全国Ⅰ卷）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85.（2019全国Ⅰ卷）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为___________.6.（2018浙江高考卷）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．第1课时 最值、范围、证明问题考点聚焦突破 考点一 最值问题【例1-1】已知AB 是抛物线2:2C y x =的一条弦，且3AB =，则弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离的最小值为________.规律方法 有一类圆锥曲线的最值问题，它常以选择题与填空题的身份出现.若以代数法为主处理，往往由于运算量过大而不易解决；若充分运用几何法则能轻松解决.这里的几何法，主要是指圆锥曲线的定义（包括统一定义）以及几何性质的运用，有时也需要运用初中平面几何的一些常见的性质定理.【训练1-1】设F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，AB 是椭圆C 的一条弦，且AB x ⊥轴，则以下关于ABF ∆周长的说法正确的有（ ）A. 有最大值；B.最大值为8；C. 无最大值；D.最小值为4；【例1-2】（2020盐城模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =. （1）求椭圆C 的方程； （2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值.规律方法 如果是解答题中的圆锥曲线的最值问题，那么需要以代数法处理为主，若以几何法处理为主，则往往难以奏效.通常要把所需求最值的几何量（或代数表达式）表示为某个变量的函数，然后运用换元法、导数、基本不等式等方法求函数的最值.【训练1-2】 （2017山东卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2. （1）求椭圆E 的方程；y（2）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.考点二 范围问题【例2】（2018浙江卷）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． （1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求△P AB 面积的取值范围．规律方法 需要寻找合适的变量表示目标几何量（或代数表达式），然后运用求函数值域的方法求出所需范围.对于所选变量的范围，还要关注以下几点：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，确定其范围；（2）利用条件中已有变量的范围，建立已有变量与所选变量的关系，确定其范围；PMB AOyx（3）利用条件不等关系，求所选变量的范围；（4）根据隐含条件建立不等关系，确定所选变量的范围.【训练2】（2019南昌调研）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.考点三 证明问题【例3】（2018全国Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与轴垂直时，求直线M 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.规律方法 对于圆锥曲线中的证明问题，主要运用代数法，有时也会运用几何法或反证法证明.常见的证明问题主要是以下两方面：（1）位置关系：如直线与圆锥曲线相切、直线与直线平行或垂直、直线过定点等； （2）数量关系：如相等、定值、恒成立等.【训练3】（2019上海卷）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．第2课时 定点、定值、探究问题考点聚焦突破 考点一 定点问题【例1】（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点,M N ，直线1y =-分别交直线,OM ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．规律方法 圆锥曲线中的定点问题，是指曲线（含直线）在题设条件下运动，总过某个（些）定点的一类问题.通常有以下两种处理方法：（1）引进参数：引进动点的坐标或动曲线（包含直线）方程的系数为参数，再研究条件中的运动关系与参数何时没有关系，找到定点；（2）特殊到一般：根据动点或动曲线（包含直线）的特殊位置探索出定点，在证明该定点与条件中的运动关系无关.【训练1】（2019咸阳二模）已知(2,0),(2,0)A B -，动点C 满足直线,AC BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，判断以PQ 为直径的圆是否经过x 轴上一定点．考点二 定值问题【例2】（2019河北“五个一”名校联盟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点1122(,),(,)P x y Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，若1212(,),(,)22x xm y n y ==，0m n ⋅=. （1）求证：1214k k =-；（2）试探求OPQ ∆的面积S 是否为定值，并说明理由.规律方法 圆锥曲线中的定值问题，是指目标几何量（或代数式）在不受题设动曲线（含直线）的影响，总保持固定值的一类问题.其处理方法与定点问题相似.【训练2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于,A B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线,PA PB 分别交椭圆C 的右准线l 于,M N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）记,M N 两点的纵坐标分别为,M N y y ，试问M N y y 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.考点三 探究问题【例3】 如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点.当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB的长为3. （1）求椭圆C 的方程； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB +值；若不存在，请说明理由.规律方法 探究问题通常分为探究条件、探究结论两种.若为探究条件的问题，可先假设条件的存在，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若为探究的问题，则应求出表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及参数的讨论.【训练3】（2019盐城调研）如图，已知椭圆124:221=+y x C 与椭圆)20(12:2222<<=+m m x y C 的离心率相同.(1)求m 的值；(2)过椭圆1C 的左顶点A 作直线l ，交椭圆1C 于另一点B ，交椭圆2C 于,P Q 两点（点P 在,A Q 之间）.①求OPQ ∆面积的最大值（O 为坐标原点）；②设PQ 的中点为M ，椭圆1C 的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为R ，试探究点R 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.反思与感悟思维升华1.善于运用先猜后证的手段，从特殊情况入手，如考虑直线的特殊情况：斜率不存在或斜率为0等，先得到定点或定值，由此再验证该定点或定值也满足其他任意情况；2.探究性问题，无论是否存在，都可假设存在，满足题设则存在，与题设矛盾则不存在. 易错防范1.求范围问题要特别关注变量自身的范围；2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的区别，要注意特殊关系、特殊位置的应用.提醒：请完成配套的《课时作业本》。