又点 A 在 x 轴上方， ∴ xA＝ 3.∴ yA＝ 2 3.
∴
S△
OAF＝
1 2
×
1
×
2
3＝
3.
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例 1 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0) ，实半轴长为 3.
(1) 求双曲线 C 的方程；
(2) 若直线 l ： y＝ kx＋ 2与双曲线 C 的左支交于 A， B 两点，求 k 的取值范围； (3) 在 (2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线 l 0 与 y 轴交于 M (0， b)，求 b 的取值范围． 审题破题 (2) 直接利用判别式和根与系数的关系确定 k 的范围； (3) 寻找 b 和 k 的关系，
①
|PF
|≥
p 2.
② A(m， n)为一定点，则 |PA|＋ |PF |有最小值．
x2 y2 1． (20xx ·课标全国 Ⅰ )已知椭圆 E：a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F(3,0) ，过点 F 的直线交 E
于 A、 B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1，－ 1)，则 E 的方程为
[－ 2，－ 1] ，那么直线 PA1 斜率的取值范围是
B．
[38，
3 4]
D ． [34， 1]
()
答案 B
解析 利用直线 PA2斜率的取值范围确定点 P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算
直线 PA1 斜率的边界值．
由题意可得 A1(－ 2,0)， A2(2,0)，
当 PA2 的斜率为－ 2 时，
于 A，B 两点．其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60°，则△ OAF 的面积为 ______．
答案 解析
3 ∵ y2＝ 4x 的焦点 F(1,0)，
又直线 l 过焦点 F 且倾斜角为 60°，
故直线 l 的方程为 y＝ 3(x－ 1)，
将其代入 y2＝4x 得 3x2－ 6x＋3－ 4x＝ 0， 即 3x2－ 10x＋ 3＝ 0.∴ x＝ 13或 x＝ 3.
即作如下变形：
|x2－ x1|＝ |y2－ y1|＝
x1＋ x2 2－ 4x1x2， y1＋ y2 2－ 4y1y2.
②当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算
( 利用两点间距离公式 )．
(2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3． 圆锥曲线中的最值
联立方程 x2＝ 4y，
消去 x 整理得 y2＋ (2y0－ x20) y＋y20＝0，
∴ y1＋y2＝ x20－ 2y0， y1y2＝ y20，
∴ |AF | ·|BF |＝ y1 y2＋ (y1＋ y2)＋ 1＝ y20＋ x02－ 2y0＋1
＝ y20＋ (y0 ＋2) 2－ 2y0＋ 1＝ 2y20＋ 2y0＋ 5
12x1，
1 2
x2
，所以切线
y－
y1
＝
x1 2(
x－
x1)，即
y＝
x1 2 x－
x21＋ 2
y1，即
x1x－ 2y－ 2y1 ＝0.
PA 的方程为
同理可得切线 PB 的方程为 x2x－ 2y－ 2y2＝ 0， 又点 P(x0， y0)在切线 PA 和 PB 上，
所以 x1x0－ 2y0－ 2y1＝ 0， x2x0－ 2y0－ 2y2＝ 0，
当△ AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于
()
3 A. 3
3 B ．－ 3
3 C． ±3
D ．－ 3
答案 B
1 解析 ∵ S△AOB＝ 2|OA||OB|sin∠ AOB
＝
1 2sin
∠
AOB
≤
1 2.
当 ∠ AOB＝π2时， S△AOB 面积最大．
此时
O 到 AB 的距离
d＝
2 2.
设 AB 方程为 y＝k( x－ 2)( k<0) ，
长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
①斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1( x1，y1) ，P2 (x2，y2 )，则所得弦长 |P1P2|＝ 1＋ k2
|x2－ x1|或 |P1P2|＝
1＋
1 k2|y2
－
y1
|，其中求
|x2－ x1 |与 |y2－y1|时通常使用根与系数的关系，
所以 (x1 ，y1)， (x2， y2)为方程 x0 x－2y0 －2y＝ 0 的两组解，
所以直线 AB 的方程为 x0x－ 2y－ 2y0＝ 0.
(3) 由抛物线定义知 |AF |＝y1＋1， |BF |＝ y2＋1，
所以 |AF| ·|BF|＝ (y1＋ 1)( y2＋ 1)＝ y1y2＋ (y1＋ y2)＋ 1， x0x－ 2y－ 2y0＝ 0，
将直线方程与抛物线方程联立，消去
y(或 x)，得到一个一元方程
ax2 ＋bx＋ c＝ 0(或 ay2
＋ by＋ c＝ 0)． ①当 a≠ 0 时，用 Δ判定，方法同上． ②当 a＝ 0 时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2． 有关弦的问题
(1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦
第三讲 圆锥曲线的综合问题
1． 直线与圆锥曲线的位置关系
(1) 直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若
Δ>0，则直
线与椭圆相交；若 Δ＝ 0，则直线与椭圆相切；若 Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2) 直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去
xA
＋
xB＝
6 1－
2k2， 3k
所以 yA＋ yB＝( kxA＋ 2)＋ (kxB＋ 2)
＝ k(xA＋ xB)＋ 2
2
＝
1
2 －
32k2，
所以 AB 中点 P 的坐标为
3 1－
2 3
kk2，
1－
2 3
k2
.
设 l 0 的方程为
y＝－
1 kx＋
b，将
P 点的坐标代入
∵
3
2
3 <k<1， ∴ －2<1－ 3k <0， ∴b<－ 2
利用 (2)中 k 的范围求解．
解
(1)设双曲线方程为
x2 y2 a2－b2＝1 ( a>0， b>0) ，
由已知，得 a＝ 3， c＝ 2，b2＝ c2－ a2＝ 1， 故双曲线方程为 x32－ y2＝ 1. (2) 设 A(xA， yA)， B(xB， yB)，将 y＝ kx＋ 2代入 x32－ y2＝ 1，
y(或 x)，得到一个一元方程
ax2 ＋bx＋ c＝ 0(或 ay2
＋ by＋ c＝ 0)． ①若 a≠ 0，当 Δ>0 时，直线与双曲线相交； 当 Δ＝ 0 时，直线与双曲线相切； 当 Δ<0 时， 直线与双曲线相离． ②若 a＝ 0 时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3) 直线与抛物线的位置关系的判定方法：
(2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y＝－ 1 相交于点 Q，
证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点． 审题破题 (1) 先求出 B 点坐标， 代入抛物线方程， 可得 p 的值； (2) 假设在 y 轴上存在定 点 M ，使得以线段 PQ 为直径的圆经过点 M ，转化为 M→P·M→Q＝ 0，从而判断点 M 是否存 在．
AB 的方程；
(3) 当点 P 在直线 l 上移动时，求 |AF| ·|BF|的最小值．
解
(1)依题意知
|c＋ 2|＝ 2
3
2
2，
c>0
，解得
c＝ 1.
所以抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
(2) 由 y＝14x2 得 y′ ＝12x，
设 A( x1， y1)， B(x2， y2)，则切线
PA，PB 的斜率分别为
得 (1－ 3k2)x2－ 6 2kx－ 9＝ 0.
由题意，知
1－ 3k2≠ 0， Δ＝ 36 1－ k2 >0，
xA＋
xB＝
6 1－
2 3
k k2<0
，
－9 xAxB＝ 1－ 3k2 >0，
解得
3 3 <k<1.
所以当
3 3 <k<1 时，直线
l 与双曲线的左支有两个交点．
(3) 由 (2)，得
即 kx－ y－ 2k＝ 0.
由 d＝
| 2k| k2＋1
＝
2得 2
k＝－
3 3.
( 也可 k＝－ tan∠ OPH＝－ 33)．
3．
(20xx
大·纲全国
)椭圆
C
x2 ：4
＋ y2 3
＝1ຫໍສະໝຸດ 的左、右顶点分别为A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2
斜率的取值范围是 A ． [ 12，34] C． [ 12， 1]
的最值，这就是代数法．
变式训练 1 (20xx ·广东 )已知抛物线 C 的顶点为原点， 其焦点 F(0，c)(c>0) 到直线 l ：x－ y－2
＝ 0 的距离为
32 2 .设 P 为直线
l 上的点， 过点
P 作抛物线
C 的两条切线
PA，PB，其中 A，
B 为切点．
(1) 求抛物线 C 的方程； (2) 当点 P(x0， y0)为直线 l 上的定点时，求直线
代入椭圆方程，
消去
y 化简得
7x2－ 16x＋ 4＝ 0，解得