lim p{
n
n np
1 x} lim p{ i 1 x} e n np(1 p) np(1 p) 2
x
X
n
i
np

t2 2
dt
定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布
的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用
定理6来计算二项分布的概率.
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度
不高.为此我们研究下面的内容.
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
地位事实上遇到的大量随机变量都服从正态分布。自然会提 出为什么正态分布如此广泛地存在，而且在概率论中占有重 要地位。应该如何解释大量随机现象中这一客观规律性呢？ 李雅普夫证明：在某些非常一般的充分条件下，独立随机变
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停机的概率为0.2.求3部机器同时 停机的概率?
分析:机器停机是独立变量,且服从二项分布.
n 10, p 0.2, q 0.8, npq 10 0.2 0.8 1.6 1.265
(1)直接计算
p( 3) C p q
7000
数理统计的特点:它以随机现象的观察试验取得资料作
为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料
为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模 型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律 性. 例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试
验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情
220 180 200 20 p(180 220) p ( 200 20) p( ) 2 13 13 20 200 20 p( ) 0 (1.54) 0 (1.54) 2 0 (1.54) 1 13 13 13 2 0.93822 1 0.87644
在概率意义下接近于数学期望E(X i)=μ.
即表示在定理2的条件下,n个随机变量的算术平均值在n无限增
大时,几乎变成一个常数.它反映了大量测量值的算术平均值 的稳定性,这就从理论上肯定了用算术平均值代替理论均值 的合理性. 贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
nA lim P{| p | } 1 n n
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任 意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量X 1 , X 2 ,, X n的算术平X=Σ X/n i
例3 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是 0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和 7200之间的概率? 在上二节中我们计算它的概率为0.95.现在利用局部定理
E 10000 0.7 7000 D npq 10000 0.7 0.3 2100 np 10000 0.7 7000 . npq 2100 45.83 p(6800 7200 ) p( 7000 200) 200 p( ) 2 0 (4.36) 1 0.99999 45.83 45.83
* n
(X
k 1
n
k
)
X
k 1
n
k
n
n
n
的分布函数Fn(y)满足
* lim Fn ( y) lim p(n y) n n y

1 x2 e dx 2
2
(5)
定理6 设随机变量ηn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项 分布,则对于任意x,恒有 φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函数

0.76) p( x 0.75n 0,01n) 1
D
2
1
0.1875n 1875 1 0.9 2 (0.01n) n
例4 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概
率 是0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在 6800和7200之间的概率?
证明:
1 n 1 由于X1,X2,...,Xn相互独立,故 D( X i ) 2 n i 1 n
D( X i )
i 1
n
C n
再由切比雪夫不等式,可得
2 2 p( X ) 2 , (14) p( X ) 1 2 (15)
1 n 1 n C 2 P{| [ X i E ( X i )] | } 1 D( X i ) / 1 2 n i 1 n i 1 n C 1 n 1 2 P{| [ X i E ( X i )] | } 1 n n i 1
nA 其中nA/n是频率,p是概率,即次数多 lim P{| p | } 1 n n 时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1 1 lim P{| ( X 1 X 2 ...X n ) p | } 1 n n
2 p( X ) 2 , (14)
D( X )
例2 在n重贝努里试验中，若知道每次试验A出现的概率为0.75 试用切贝谢夫不等式求n.使A出现的频率在0.74到0.76之间的概 率不少于0.9? 分析:设n重贝努里试验A出现的次数为 , 服从二项分布 n重贝努里试验A出现的频率为 /n
3 10
3 10 3
10 9 8 0.23 0.87 0.2013 3 2
(2)用局部定理
1 k np 1 3 2 1 p( 3) 0 ( ) 0 ( ) 0 (0.79) 0.2308 1.265 1.265 npq npq 1.265
如果n大于50,则误差就不会产生.
即
nA lim P{| p | } 1 n n
定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p. 定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用 中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.
例1 设 X 是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X =1，2， 实际计算 p( X E( X ) )，并验证切贝谢夫不等式成立。 分析：因为X 的概率函数
例1 对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸
弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69.求100
次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率? 分析:令第 I次轰炸命中目标的次数 i .100次轰炸中命中 目标次数 i i 1 应用中心极限定理 i 服从正态分布期望值为 200,方差为169,标准差为13
7 1 2 p( X 1) 4 . X 1,2,5,6时满足不等式。 2 6 3 7 1 1 1 p( X 2) p( X 1) p( X 6) 2 6 6 3 35 2 8 7 X 1, 2 p( X ) 12 3 12 2 D( X ) 35 1 35 1 16 X 2, 2 12 4 48 3 48
E( ) np 0.75n.D( ) npq 0.75 0.25n 0.1875 n
x {0.74 0.76} {0.74n x 0.76n} { x 0.75n 0.01n} n 0.01n n n 18750 p(0.74
量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分
布的。 此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机 变量的个数无限增加时趋向正态分布的更一般的充分条件。 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的一
般定理称为中心极限定理。
定理5(独立同分布的中心极限定理)
设相互独立的随机变量 X 1 X 2 ...具有相同的分布,且具有 有限的数学期望和方差,E(X k)=μ,D( X )=σ2≠0(k=1,2,..), 则随机 k 变量
lim p p)
x}
x

1 e 2
t2 2
dt
(6)
证明 由于服从二项分布的随机变量ηn可看成n个相互独立, 服从同一个(0-1)分布的随机变量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi 其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律为 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k 而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) 布定理) (k=0,1) (i=1,2,...,n),根据定理5(独立同分
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机 变量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意
给定的ε>0,有
1 n lim P{| [ X i E ( X i )] | } 1(1) n n i 1
k 6800
k k 10000 k C 0 . 7 0 . 3 10000
E np 10000 0.7 7000 D npq 10000 0.7 0.3 2100 p(6800 7200 ) p( 7000 7200 6800 D 2100 200 1 2 1 0.95 2 2 200