新课讲授
平面直角坐标系中确定直线的条件探究
问题4 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ ①每一条直线都有确定的倾斜角; ②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角; ③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
问题5：一个点能确定一条直线的位置吗？ 已知直线的倾斜角能确定一条直线的位置吗？ 要确定一条直线位置，需要哪些几何要素呢？ 答 均不能．要确定直角坐标系中一条直线 的位置的几何要素是：直线上一点以及它的倾斜角，二者缺一不可.
典例精析
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判 断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
典例精析
斜率公式的应用
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断
这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
分析：直接利用斜率公式求解，再利用斜率的符号判断角. y
������−������ ������
=
������，解得：x=-3.故选C.
小结：斜率相等可以作为判断三点是否共线的依据
典例精析
斜率公式的应用
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.
分析：找出直线异于原点的点与原点相连接即可画出这些直线.
=
������������−������������ ������������−������������
<
������,
所以k=tan������=−
������������−������������ ������������−������������
=
������������������������−−������������������������.
y x
答：不适用，因为此时x1=x2，分母为0， ������2 ������2，������2
O
斜率k不存在.
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直线的斜率公式的推导
直线斜率公式
经过两点������������ ������������，������������ , ������������ ������������，������������ （������������≠������������）的直线的斜率公式
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如何刻画直线的倾斜程度
问题1 在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕点 P 旋转， 不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？ 答 它与x轴的相对位置关系有三种：相交、垂直、平行.
问题2 已知直线 l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗？ 答 不确定.过一个点有无数条直线. 问题3 这些直线之间有什么位置上的区别？ 它们相对于x轴的倾斜程度不同.
由������������������ > ������及������������������ > ������知，直线AB和CA的倾斜角均为锐角；
由������������������ < ������知，直线BC的倾斜角为钝角.
跟踪训练
斜率公式的应用
练习1 已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则 x 等于 ( C ) (A)-1(B)1(C)-3(D)3
解：直线AB的斜率������������������
=
������−������ −������−������
=
−������ −������
=
������ ������
.
直线BC的斜率������������������
=
−������−������ ������−ሺ−������ሻ
=
−������ ������
<
������������.
坡度（比）的本质就是倾斜角的正切值.
2m 3m
3m 4m
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直线的斜率的定义
直线的斜率的定义： 当直线 l 的倾斜角 α 不等于90°时， 我们把倾斜角 α 的正切值叫做直线 l 的斜率. 斜率通常用小写的字母 k 表示，
即k=tan α(α≠90°). 当倾斜角α=90°时，直线 l 的斜率不存在.
解：设A1（x1,y1）是l1上任一点，根据斜率公式
有������ = ������������������������−−������������，即������������ = ������������. 设x1=1，则y1=1，于是A1的坐标是（1,1）． 过原点及点A1（1,1）的直线即为l1． 同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线， l3是过原点及点A3（1，2）的直线， l4是过原点及点A4（1，-3）的直线．
y
若α为钝角，������ = ������������������° − ������,(设∠������������������������������ = ������)
且������������ > ������������, ������������ < ������������,
y2
P2 (x2 , y2 )
y
l
α
o
x
注意：①倾斜角α=90°的直线没有斜率，α≠90°的直线才有斜率，斜率是唯一确定的实 数，而且倾斜角不同，直线的斜率不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
②如果直线的斜率是否存在不明确，要分斜率是否存在进行讨论.
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直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1≠x2，如何计算斜率k？
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坡度（比）与倾斜程度的关系
问题6 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” （倾斜程度），即坡度（比）=升 前高 进量 量 .
如右图所示的两个楼梯，“进3m升2m”比“进4m 升3m”的坡相比，哪个更陡呢？
显然后者陡一些，因为������
������
y
������2 ������2，������2
答：适合.因为此时y1=y2，
O
x
斜率
k
=
������������−������������ ������������−������������
=
������.
问题9 当直线平行于y轴，或与y轴重合
时，公式还适用吗？
������������ሺ������������， ������������ሻ
解析
解析几何
几何 解析几何 解析几何
1.1直线的倾斜角与斜率
学习目标
三维目标及重难点分析
1．知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率 的概念. (2)理解直线倾斜角的唯一性． (3)理解直线斜率的存在性． (4)斜率公式的推导过程，掌握过 两点的直线的斜率公式．
2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题 (几何问题)转化为倾斜角问题， 进而转化为倾斜角的正切，即斜 率问题(代数问题)进行解决，使 学生不断体会“数形结合”的思想 方法．
学习目标
三维目标及重难点分析
3．情感、态度与价值观 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习 直线倾斜角与斜率的关系，培养学生 观察、探索能力，运用数学语言表达 能力，数学交流与评价能力． (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的 推导，帮助学生进一步理解数形结合 的思想，培养学生树立辩证统一的
观点，培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神． [重点] 直线的倾斜角和斜率概念以及 过两点的直线的斜率公式． [难点] 过两点的直线斜率公式的推导．
y
y
P1(x1, y1)

P2 (x2 , y2 )

O
x
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )

O
x
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
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直线的斜率公式的推导
问题8 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合 时，该公式还适用吗？为什么？
������������ ������������，������������
������ = ������������������ ������ = ������������������∠������������������������������
=
|������������������| |������������������|
=
������������ ������������
=
− ������
������
.
直线CA的斜率������������������
=
−������−������ ������−������
=
−������ −������
=
������.
小结： 斜率B为正，倾斜角为锐A角； 斜率为负，倾O斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角C为0°； x
斜率不存在时，倾斜角为直角.
− −
������������ ������������
>
������.
结论：当������° ≤ ������ < ������������°时，斜率������ ≥ ������.
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直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1≠x2，如何计算斜率 k？
结论：当������������° < ������ < ������������������°时，k＜0.
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直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1≠x2，如何计算斜率 k？
同样，当������������������������的方向向上时，也有������������������������=������������������������−−������������������������成立.