为三次曲线，即说明单元边界上的位移按三次曲线分布，而平面十结点三角形边界上有四个结点，刚好可 唯一确定一条三次曲线。即公共边界上的四个结点可以保证位移函数的连续性。
= (F
0 0 0 0 0)
T
⎛ PE = ⎜ 0 ⎜ ⎝
⎛ PC = ⎜ F ⎜ ⎝
B） PD
P 2
P 2
10 10 q2 + q1 0 3 6
u = −z
∂w ∂w ， v = −z ， w = w( x, y ) ∂y ∂x
由于每个结点有三个自由度，则位移函数形式为：
w( x, y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 +
plt 所示弹性力学平面问题位移计算结果，请说明提高有限元法计算精度的方法。 （10 分）
答：1）选择合适的单元类型；2）采用高阶次（等参数）单元；3）网格划分密度加密。
所以，薄板弯曲问题的位移函数为：
三、请简要分析以下弹性平面问题单元的基本特点。 （10 分）
八、如图显示一个 x，y 坐标中的四边单元，结点坐落在如图所示的坐标点上，并且在每个坐 标点上的温度分布是已知的，T1 =100℃，T2=60℃，T3=50℃和 T4=90℃，试利用形态函数计 算在 x=2.5 和 y=2.5 处的温度。 （10 分）
答：先求出形态函数，
U ( x, y ) = α1 + α 2 x 2 + α 3 xy
天津大学研究生课程考试试卷
课程名称：工程结构数值建模与分析方法 课程编号：S205G002 学院名称：
一、判断题（每小题 2 分，共 16 分）
1．将非结点荷载化为其等效结点荷载时，等效后单元的结点位移相同，单元任意位置处的位移也相同。 错） （ 2．将局部坐标系下的固端力转换成整体坐标系下的固端力要乘以坐标变换矩阵的转置矩阵。同理，将局部坐 标系下的单元刚度矩阵转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵也要乘以坐标变换矩阵的转置矩阵。 错） （ 3．平面应力问题和平面应变问题是平面问题的两种类型，在两类平面问题中： σ 4．在平面三结点三角形单元中，其形态函数 N i ( x, y ) 具有如下性质： （ = τ xz = τ yz = 0 。 错）
V ( x, y ) = α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2
答：不能采用，因为：1）位移函数没有反应全部的刚体位移项和常应变项；2）在单元边界上的连续条件也不 能满足。
N1 = N3 =
( x − 2)( y − 3) ( x − 2)( y − 3) ( x − 4)( y − 3) ( x − 4)( y − 3) 、 = N2 = =− ( x − 4)( y − 3)( 2, 2) 2 ( x − 2)( y − 3) ( 4, 2) 2 ( x − 2)( y − 2) ( x − 2)( y − 2) 、 ( x − 4)( y − 2) ( x − 4)( y − 2) = N4 = =− ( x − 2)( y − 2) ( 4,3) 2 ( x − 4)( y − 2) ( 2,3) 2
六、试写出平面十结点三角单元位移函数的一般形式，并证明其在边界上的连续性。 （10 分）
答：位移函数的一般形式为：
在这里可以把温度看作位移分量，因为只有一个分量所以只有一个函数方程
⎧ u = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y ⎨ 2 2 3 2 2 ⎩v = α11 + α12 x + α13 y + α14 x + α15 xy + α16 y + α17 x + α18 x y + α19 xy + α
提示：从单元形状、应力分布、计算精度等角度说明。 答：1）三结点三角形单元：为常应变单元，直线边界，精度较低； 2）六结点三角形单元：应变为坐标函数，精度较高，但仍为直线边界； 3）四结点等参数单元：几何形状为任意四边形，双线性单元，虽增加了一个结点，但精度不能很好地提高， 为直线边，用直线拟合曲线边界，效果差； 4）八结点等参数单元：应力应变为坐标的二次函数，精度高，边界为二次抛物线，可以很好地拟合曲线边 界。
10 10 q2 + q1 0 3 6
10 10 q1 + q2 3 6
10 10 q1 + q2 3 6
T
P⎞ ⎟ 2⎟ ⎠
P⎞ ⎟ 2⎟ ⎠
T
七、已知结构单元划分有两种形式，分别进行单刚集装为总刚；比较每种情况带宽大小，并 说明结点编码的正确方法。 （10 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
α 10 y 3 + α 11 x 3 y + α 12 xy 3
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天津大学研究生课程考试试卷
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五、在平面三结点三角形单元中，能否取下面的位移函数?并简要说明理由。 （10 分）
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y = ax + b ，代入上式，得：
3 1 1 3 = (100) + (60) + (50) + (90) = 85 ℃ 8 8 8 8
九、写出如下图所示结构的结点荷载列阵， PC = PD + PE 。 （12 分）
答：A） PD
⎧ u = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 ⎨ 2 3 ⎩v = d 0 + d1 x + d 2 x + d 3 x
T
PC = (0 − 12 − 2 20 − 24 − 40 0 − 12 2 20 0 − 5)
T
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四、请推导薄板弯曲问题（四结点矩形单元）的位移函数形式。 （12 分）
提示：薄板小挠度问题的基本假定如下： 1）薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 2）薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板弹性曲面的法线； 3）薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没有平行于中平面的位移； 4）挤压应力引起的形变可以略去不计。 答：由基本假定（1）得：
位移函数的待定系数由结点位移和坐标确定。 由于相邻单元的公共边界为直线，设为
T ( x, y ) = T1 N1 ( x, y ) + T2 N 2 ( x, y ) + T3 N 3 ( x, y ) + T4 N 4 ( x, y )
由上式可以计算出所求点的温度为：
T (2.5,2.5) = T1 N1 (2.5,2.5) + T2 N 2 (2.5,2.5) + T3 N 3 (2.5,2.5) + T4 N 4 (2.5,2.5)
γ xz = γ yz = 0 ，故：
u = −z
∂w ∂u ∂w ∂v + =0 + = 0， ∂y ∂z ∂x ∂z
所以， 8．某平面六结点三角形单元，厚度为 t，ij 边（边长为 1）上受 x 方向的均布力 p，则结点 j 沿 x 方向的等效结 点荷载为 p jx =
∂w ∂w + f 2 ( x, y ) + f1 ( x , y ) ， v = − z ∂y ∂x u | z =0 = v | z =0 = 0 ，故： f1 ( x, y ) = f 2 ( x, y ) = 0
z
∫∫
A
（ N i dxdy = A / 3 。 对）
∂w = ε z = 0 ，故： w = w( x, y ) ∂z
由基本假定（2）得：
5．按位移法（最小势能原理）求出的位移近似解始终比精确解小，而应力近似解则在精确解上下振荡。 对） （ 6．在平面三结点三角形单元中，位移呈线性变化，公共边界上位移协调；单元内应变为常数，公共边界上应 力、应变均有突变。 对） （ 7．平面问题三角常应变有限元中形函数之和为 1。 对） （
T
答：单刚集装为总刚的情况如右图 所示。第一种划分方式的半带宽为 10，第二种划分方式的半带宽为 4. 由此可知，合理的编码原则是使每 结点码与周围结点码尽可能接近。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
= (0 0 0 0 0 − 45 0 0 0 0 0 0 )
PE = (0 − 12 − 2 20 − 24 5 0 − 12 2 20 0 − 5)