习题精解8-1 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图8.3所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。

解 建立如图8.3所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为02m id B dS ldx xμφπ=⋅= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 00ln 22bm ai il bldx x aμμφππ==⎰由法拉第电磁感应定律有0ln cos 2m d il bt dt aφμωεωπ=-=- 8-2 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt，球小线圈中感应的电动势。

解 无限长直螺线管内部的磁场为0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 20m NBS N nI r φμπ==由法拉第电磁感应定律有20m d dIN n r dt dtφεμπ=-=- 8-3 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。

解 通过小线圈的磁通量为0m BS niS φμ==由法拉第电磁感应定律有000cos m d dinS nSi t dt dtφεμμωω=-=-=- 8-4 如图8.4所示，矩形线圈ABCD 放在16.010B T -=⨯的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=︒，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。

若令AB 边以速率15.0v m s -=∙向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

解 利用动生电动势公式0.20()50.6sin(60)0.30()2BAv B dl dl V πε=⨯∙=⨯⨯-︒=⎰⎰感应电流的方向从A B →.8-5 如图8.5所示，两段导体AB 和CD 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30︒；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为22.510B T -=⨯。

若使导体在均匀磁场中以速率11.5v m s -=∙运动，方向与AB 段平行，试问AC 间的电势差是多少? 哪一端的电势高？解 导体AB 段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。

BC 段产生的动生电动势为1.10230() 1.5 2.510cos60 1.910()C Bv B dl dl V ε--=⨯∙=⨯⨯⨯︒=⨯⎰⎰AC 间的电势差是31.910()AC U V ε-=-=-⨯C 端的电势高。

8-6 长为l 的一金属棒ab ，水平放置在均匀磁场B 中，如图8.6所示，金属棒可绕O 点在水平面内以角速度ω旋转，O 点离a 端的距离为l k 。

试求a,b 两端的电势差，并指出哪端电势高（设k>2）解 建立如图8.6所示的坐标系，在Ob 棒上任一位置x 处取一微元dx ，该微元产生的动生电动势为()d v B dx xBdx εω=⨯∙=- Ob 棒产生的动生电动势为 22011(1)2l l kOb xBdx Bl kεωω-=-=--⎰同理，Oa 棒产生的动生电动势为 2122012kOa l xBdx Bl kεωω=-=-⎰金属棒a,b 两端的电电势差22222211112(1)(1)222ab ab Oa Obl U Bl Bl Bl k k kεεεωωω=-=-=---=- 因k>2，所以a 端电势高。

8-7 如图8.7所示，真空中一载有稳恒电流I 的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r ，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd 的延长线与长直导线相交，导线与圆心O 之间距离为，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度垂直纸面向外运动时，求：（1）回路中感应电动势的大小；（2）半圆弧导线cd 中感应电动势的大小。

解 （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势0ε=。

（2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小选取x 轴如图8.7所示，在x 处取线元dx,dx 中产生感应电动势大小为 ()d v B dl ε=⨯∙ 其中02IB xμπ=导线cd 及圆弧cd 产生感应电动势的大小均为 00ln 22l rl r l rl r Iv Iv dx l rvBdx x l rμμεππ++--+===-⎰⎰8-8 在半径0.50R m =的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且211.010dB dt T s --=⨯∙，圆柱体外无磁场，试求离开中心O 的距离分别为0.1,0.25,0.50,1.0m m m m 和各点的感生电场的场强。

解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有LSBE dl dS t∂∙=-∙∂⎰⎰⎰感 而22,LSB dB E dl E r dS r t dtππ∂∙=-∙=-∂⎰⎰⎰感感 当r R <时， 22dB E r r dt ππ=-感 12dBE r dt=-感所以0.1r m =时，415.010E V m --=⨯∙感；0.25r m =时，。

311.310E V m --=⨯∙感 当r R >时 22dBE r R dtππ=-感 22R dBE r dt=-感所以0.50r m =时， 312.510E V m --=⨯∙感; 1.0r m =时311.2510E V m --=⨯∙感8-9 如图8.8所示，磁感应强度为B 的均匀磁场充满在半径为R 的圆柱体内，有一长为l 的金属棒ab 放在该磁场中，如果B 以速率dB dt 变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两端的电动势等于12dB dt 证明 方法一 连接Oa,Ob,设想Oab 构成闭合回路，由于Oa,Ob 沿半径方向，与通过该处的感生电场处垂直，所以Oa,Ob 两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab 的总电动势就是棒ab 两端电动势。

根据法拉第电磁感应定律12ab OabdB dB S dt dt εε==-=方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 12dB E r dt=-感 棒ab 两端的电动势为11cos 22l l lab dB E dx E dx rdt εθ=∙==-=⎰⎰⎰感感8-10 如图8.9所示，两根横截面半径为a 的平行长直导线，中心相距d ，它们载有大小相等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线长为l 的一段的自感为0ln l d a L aμπ-=。

解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 ()0022I IB x d x μμππ=+- 穿过两根导线间长为的一段的磁通量为()00022ln d ad am aaI I B dS ldx x d x lI d aaμμφππμπ--⎡⎤=∙=+⎢⎥-⎣⎦-=⎰⎰所以，一对长为的一段导线的自感为 0ln ml d aL I aφμπ-==8-11 一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R ，管的横截面积为S ，环的总匝数为N ，管内充满磁导率为μ的磁介质。

求此环形螺线管的自感系数L 。

解 当环形螺线管中通有电流I 时，管中的磁感应强度为 2INB nI Rμμπ== 通过环形螺线管的磁链为22m m IN SN Rμψφπ==则环形螺线管的自感系数为22mN S L I Rψμπ== 8-12由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径1R ,外筒半径为2R ，两筒间的介质1r μ=。

设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I 相等，求长度为l 的一段同轴电缆所储磁能为多少？解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为1r R <时， 10B = 12R r R <<时， 022IB rμπ=2r R >时， 30B =在长为L ，内径为r ，外径为r dr +的同轴薄圆筒的体积2dV rldr π=中磁场能量为22020124m I l B dW dV dr rμμπ==所以，长度为l 的一段同轴电缆所储能为 21220021ln 44R m R I r I l R W dr r R μμππ==⎰8-13 在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P 的电场强度为E ，磁感应强度为B ，此空间区域介质的介电常数0εε≈，磁导率0μμ≈。

求P 点处电场和磁场的总能量体密度w 。

解 电场能量密度为2012e w E ε= 磁场能量密度为212m B w μ=总能量密度为22001122e m B w w w E εμ=+=+8-14 一小圆线圈面积为21 4.0S cm =，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为150N =，把它放在另一半径220R cm =，2100N =匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。

如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流每秒减少50A ，试求小线圈中的感应电动势。

解 当大圆形线圈通有2I 时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 022222I B N R μ=若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 0212112122m I N B S N N S R μψ==两个线圈之间的互感为74612012250100410 4.010 6.2810()220.2mN N S M H I R ψμπ---⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯如果大线圈导线中的电流每秒减少50A ，则小线圈中的感应电动势为 646.281050 3.1410()diMV dtε--=-=⨯⨯=⨯ 8-15 一螺线管长为30cm 。

由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率100r μ=，当它的导线中通有2.0A 的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。

解 螺线管中的磁感应强度为00r r N B nI I lμμμμ== 螺线管中的磁场能量密度为22220022200122416R m I r I l B w dV rldr R μμπμππ===⎰⎰⎰⎰ 8-16 一根长直导线载有电流I ，且I 均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为的一段导线内部的磁场能量。