第六讲数阵图教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。

本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：1. 引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2. 教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；3. 锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4. 培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。

经典精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。

第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。

第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键， 基本类型的数阵图【例1】 将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。

162435 163254 254163 435162【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。

由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。

s 和k 有四组取值：96k s =⎧⎨=⎩ 109k s =⎧⎨=⎩ 1112k s =⎧⎨=⎩ 1215k s =⎧⎨=⎩ 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。

点亮设计：（1）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键词的方法是最重要的。

（2）设计问题：三角形每条边之和等于1~6的和吗？为什么？不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3(12...56)321k k -++++=-。

（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道k 的取值范围，进一步采用实验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果。

（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就在后面的例题中有大量体现。

【铺垫】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【分析】 此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。

像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。

一般地，有m 条边，每条有n 个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）m n -图，封闭型m n -图有m 个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和⨯边数【例2】 把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，是每条线上3个圆内所填的和都相等。

如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。

[分析]将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+…+20=165.所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，综合仍能被5整除。

所以中间的数只能是10、15、20.。

亮点设计：（1）建议老师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。

（2）当要求将20、22、24、…38、40十一个数字填入数阵，应该怎么填？分析：如例题。

将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而20+22+24+…+40=330，所以中间的必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除。

所以中间的数只能是20、30、40.（3）将这个数阵进行变形，变为如下形式：填入10~20十一个数，使得每条线断和每个圆周上所有数的和相等，如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。

问中间的数有多少种填法？分析：计算7个和的和，这个和一定是7的倍数，其中中心圆上的数被计算了5遍，其它数只是被计算了2遍，设中心圆上的数为x ，因此这个数等于(1011++⨯…+19+20）2+ 31653x x +⨯=+⨯，3x ⨯取31+7k ，31+3k 可以被3整除，经试验，x 只能是15。

[铺垫]将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等。

【分析】设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a =28+2a 一定是3的倍数。

而28391÷=……，那么2a 3÷的余数应该是2，因此，1,a =，4或7.（1） 当1,a =28+2=30，30310÷=，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是9分成三组填入相应的，○内就可以了。

填法如图（1）（2） 当4a =时，28+8=36，36312÷=。

填法如图（2）（3） 当7a =时，28+14=42，42314÷=。

填法如图（3）像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，想外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。

填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。

辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即1m -，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数⨯重叠次数⨯直线上各数之和⨯直线条数。

【例3】 下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处的九个○种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。

【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+…+9）315÷=,每条直线上的三数之和为（45+15）320÷=。

将1~9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解。

【巩固】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。

【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分别对应右上图的两个解。

像例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”，我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字。

其他类型的书阵图【例4】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地，请找出规律，并求出x 所代表的数。

【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的和得一半。

比如：（26+18）222÷=. (3026)228+÷=. (2430)227+÷=.所以18172x +=⨯，16x =。

经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.【拓展】找规律求x【分析】经观擦，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍。

比如：（26-18）216⨯=。

（30-26）212⨯=。

因为52 22624÷=>，所以 262450x =+=。

经检验，（50-18）⨯2=64.【例5】将1~10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上数字之和为图中所表示的数值。

图【分析】先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复只能是1，2，3，4，6的组合。

又因为有一个和为20，相应三角形上的三个数只能只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图。

【铺垫】能否将数0，1，2，…，9分别填入下图的各个圆圈中，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？图【分析】0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，13，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图。

【拓展】图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。

现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上。

（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。

（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？给出填数方法：如果不能，请说明理由。

【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总数和应该是8的倍数，但是这个综合有三组1、2、3、4组⨯+++=，成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6 (1234)60不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等。

（2）能，见右上图。

【例6】如图十奥林匹克的五环标志，其中,,,,,,,,a b c d e f g h i 处分别填入整数1至9，如果每个圆环内所填的个数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？图【分析】计算五个圈内个数之和的和，其中,,,b d f h 被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+ b d f h +++，而这个和一定能被5整除，所以,,,b d f h 中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8,所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当,,,b d f h 取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.【巩固】~9分别填入小三角形（每个小三角形只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。