这个关系式唯一地确定一个变换 T, 可以验证 所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换. 总之, 以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式 (1) 唯一确定.
定义 6 和上面一段讨论表明, 在 Vn 中取定一
个基以后, 由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵 A , 由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换 T , 这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的 关系. 由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , · · ·,
由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下 有不同的矩阵. 一般地, 我们有
定理 2 设线性空间 Vn 中取定两个基
1 , 2 , · · ·, n ; 1 , 2 , · · ·, n .
由基 1 , 2 , · · ·, n 到基 1 , 2 , · · ·, n 的过渡 矩 阵为 P, Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵 依次为 A 和 B , 那么 B = P-1AP.
= x1T(e1) + x2T(e2) + · · ·+ xnT(en)
= (T(e1), T(e2), · · ·, T(en))x
= ( 1 , 2 , · · ·, n)x = Ax .
总之 , Rn 中任何线性变换 T 都能用关系式 T(x) = Ax ( x Rn ) 表示, 其中 A = (T(e1), · · ·, T(en)). 把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们
即
x1 x1 x2 x2 T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) A . x x n n
(1)
a22 a 12 a21 . a11
定义 7 线性变换 T 的像空间 T(Vn) 的维数,
称为线性变换的秩.
显然, 若 A 是 T 的矩阵, 则 T 的秩就是 R(A).
若 T 的秩为 r , 则 T 的核 ST 的维数为 n - r.
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记 T(1 , 2 , · · ·, n) = (T(1), T(2), · · ·, T(n)), 上式可表示为
T(1 , 2 , · · ·, n) = (1 , 2 , · · ·, n)A ，
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 其中 A , a a a n2 nn n1 那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , · · ·,
3
p2 x ,
2
p3 x,
求微分运算 D 的矩阵.
p4 1 ,
解
Dp1 3x2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 ,
Dp2 2x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 , Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1p4 , Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
证 按定理的假设, 有
(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)P , P 可逆;
及 T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)A ,
T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)B .
于是 ( 1, · · ·, n)B = T(1, · · ·, n)
所以 D 在这组基下的矩阵为
0 3 A 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
0 0 . 0 0
例 13 在 R3 中, T 表示将向量投影到 xOy
平面的线性变换, 即
T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为 i , j , k , 求 T 的矩阵;
例 14 设 V2 中的线性变换 T 在基 1 , 2 下
的矩阵为
a11 A a 21
a12 , a22
求 T 在基 2 , 1 下的矩阵.
解
即
0 1 ( 2 , 1 ) (1 , 2 ) 1 0 ,
0 1 P 1 0 ,
(2)
T i , T j , T i j ,
1 0 1 即 T ( , , ) ( , , ) 0 1 1 . 0 0 0
三、线性变换在不同基下的矩阵的关系
= T[(1, · · ·, n)P] =T[(1, · · ·, n)]P
= ( 1, · · ·, n)AP = (1, · · ·, n)P-1AP ,
因为 1, · · ·, n 线性无关, 所以
B = P-1AP . 证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的 过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
第五节
线性变换的矩阵表示式
主要内容
线性变换在基下的矩阵 举例
线性变换在不同基下的矩阵的关系
一、线性变换在基下的矩阵
上节例 11 中, 关系式 T(x) = Ax ( x Rn )
简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换. 我们 自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的 关系式来表示. 为此, 考虑到 1 = Ae1, 2 = Ae2 , · · ·, n = Aen (e1 , e2 , · · ·, en 为单位坐标向量), 即
n 下的坐标分别为
x1 x2 , T ( ) x n
即按坐标表示, 有 T() = A .
x1 x2 A , x n
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
p1 x ,
求得
Hale Waihona Puke 0 1 P 1 0 ,
1
于是 T 在基 (2 , 1) 下的矩阵为
0 1 a11 a12 0 1 a21 a22 0 1 B 1 0 a a a a 1 0 1 0 21 11 12 22
i = T(ei)
( i = 1, 2, · · ·, n )，
可见如果线性变换 T 有关系式 T(x) = Ax, 那么矩 阵 A 应以 T(ei) 为列向量. 反之, 如果一个线性变 换 T 使 T(ei) = i ( i = 1, 2, · · ·, n ), 那么 T 必有关 系式 T(x) = T[(e1 , · · ·, en)x] = T(x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen)
i , 求 T 的矩阵. (2) 取基为 j , i j k ,
解
(1)
T i i , j , T j T k 0 ,
1 0 0 即 T (i , j , k ) (i , j , k ) 0 1 0 . 0 0 0
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), · · ·, T(n) 唯一确定. 如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , · · ·, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
变换 T 下的像, 那么, 根据变换 T 保持线性关系的 特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式.
Vn 中的任意元素记为
xi i ,
i 1
n
于是有
T ( xi i ) xiT ( i )
i 1 i 1
n
n
x1 x2 (T (1 ),T ( 2 ), , T ( n )) x n x1 x2 (1 , 2 , , n ) A , x n
有
定义 6 设 T 是线性空间 Vn 中的线性变换,
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , · · ·, n , 如果这个基 在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1 ) a111 a21 2 an1 n , T ( ) a a a , 2 12 1 22 2 n2 n T ( n ) a1n1 a2 n 2 ann n ,