在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标 的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论. 定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构. 结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性. 同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间 的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心 的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义 上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
第六章 习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于 任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +. 若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = . 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间): 设, , , O V, 1, l, k R, (1) 加法交换律பைடு நூலகம் + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向 量时, 就称V是无限维的. 若1, 2, · · · , n为Vn的一个基, 则Vn可表示为: Vn = { = x11+x22+· · · +xnn | x1, x2, · · · , x n R }
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, · · · , nV, 满足: (1) 1, 2, · · · , n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, · · · , n线性表示, 则称1, 2, · · · , n为线性空间V的一个基, 称n为线性空 间V的维数.
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, · · · , n及1, 2, · · · , n是n维线性空间Vn的 两个基, 且有 1 = p11 1 + p21 2 + + pn1 n 2 = p12 1 + p22 2 + + pn 2 n n = p1n 1 + p2 n 2 + + pnn n 称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为: (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n) P 在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, · · · , n到 基1, 2, · · · , n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, · · · , n下的坐标为: (x1, x2, · · · , xn)T, 在基1, 2, · · · , n 下的坐标为: (x1, x2, · · · , xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n)P. 则有坐标变换公式: x1 x1 ' x1 ' x1 x x ' x ' x 2 = P 2 , 或 2 = P 1 2 . xn xn ' xn ' xn 反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换 公式, 则两个基满足基变换公式: (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n)P.
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, · · · , n为线性空间Vn的一个基, 对 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, · · · , x n, 使 = x11+x22+· · · +xnn , 则称有序数组 x1, x2, · · · , xn 为元素在基1, 2, · · · , n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, · · · , xn)T. 线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的. 3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间. 定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
八、线性变换的概念
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一 元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它 对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变 换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为 在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称 A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即 T(A)={ =T() | A }. 显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.