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金融数学(利息理论)复习题练习题

1. 某人借款1000元,年复利率为9%,他准备利用该资金购买一张3年期,面值为1000元的国库券,每年末按息票率为8%支付利息,第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值,如果该债券发行价为900元,请问他做这项投资是否合适2. 已知:1) 16565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m2) 16565111---=-))(()()()(d d md m 求?=m 由于i n n i mm i n m +=+=+111)()()()( 由于d n n d m md n m -=-=-111)()()()(3. 假设银行的年贷款利率12%,某人从银行借得期限为1年,金额为100元的贷款。

银行对借款人的还款方式有两种方案:一、要求借款人在年末还本付息;二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。

试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利4. 设1>m ,按从小到大的顺序排列δ,,,,)()(m m d d ii解:由d i d i ⋅=- ⇒ d i >)()(m m d d >+1 ⇒ )(m d d < )()(n m d i > ⇒ )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ⇒ i i m <)(δδ+>=+11e i , δ==∞→∞→)()(lim lim m m m m d i⇒ i i d d m m <<<<)()(δ5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始,且有:(1)基金X 以利息强度5%计息;(2)基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算;(3)第8年末,基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。

求j.6. 已知年实际利率为8%,乙向银行贷款10,000元,期限为5年,计算下列三种还款方式中利息所占的额度:1)贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清; 2)每年末支付贷款利息,第五年末归还本金; 3)贷款每年年末均衡偿还(即次用年金方式偿还)。

三种还款方式乙方支付的利息相同吗 请你说明原因7.某人在前两年中,每半年初在银行存款1000元,后3年中,每季初在银行存款2000元,每月计息一次的年名义利率为12% 计算5年末代储户的存款积累值。

8. 期末付款先由1到n 递增付款,然后再由1-n 到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金,试求付款期利率为i 的虹式年金的现值和终值。

解:现值为:1211321132-+-++-++-++++=n n n n n n n A ννννννν,...,)()(,..., n n n n n n n A 2214321132νννννννν++-++-++++=++,...,)()(,...,)(,...,,...,n n n n n n A A νννννννννννν-=----++++=---+++112213212211)()(ννν--=n A 同理可证终值公式。

9. 固定养老保险计划:责任:未退休时,每月初存入一定金额(养老保险金),具体方式:25岁—29岁,月付200元, 30岁---39岁,月付300元, 40岁—49岁,月付500元, 50岁—59岁,月付1000元,权益:从退休时(60岁),每月初领取P 元退休金,一直领取20年。

问题:在给定年利率%10=i,分别计算从25,30,40,50岁参加养老保险,60岁以后月退休金为多少查表可得:513681020..|=a ,024********..|=s ,49401641030..|=s ,2750571020..|=s ,9374151010..|=s 。

10.某人继承一笔遗产:从现在起每年初可得10000元。

该继承人以10%年利率将以产收入存入银行,到第五年底,在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人,然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。

若每年底的投资回报是相同的,项目有效期为30年。

求投资人每年的回报金额。

11. 考虑下列两种等价的期末年金:A :首付6000元,然后每年减少100元,直到某年(k ),然后保持一定付款的水平直到永远;B :每年底固定付款5000元; 如果年利率为6%,试求k (近似整数)。

解:方法一:价值等式:601006000110060005000.||||))((kk k a k ka a k a νν-∞∞⋅-+--=)()())((|k k k k k a k ννν---+--=10016000110060005000解得10=|k a ,查表得15≈k方法二:价值等式:|||)())((1100110060005000-∞∞+--=k Da a k a 注意到 ia n n n Da ||)(-= 解得10=|k a 查表得15≈k答:15≈k 。

12. 某人退休一次性获得退休金Y 元,它将其中的一部分X 用于投资回报率为X i 的永久基金,另一部分用于投资回报率为j 的十年期的国债。

已知他前十年的收入是后十年的两倍,试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。

13. 某汽车销售商计划采取以下两种零售策略:1)若一次性付清车款,零售价格为2万元;或2)以年利率10%,提供4年分期付款(按月付款)。

如果目前市场上,商业零售贷款月换算的年名义利率为12%,试分析两种零售策略那种对消费者更优惠14.十万元的投资每年底收回一万元,当不足一万元时将不足一万元的部分与最后一次的一万元一次收回。

如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%,试求收款次数和最后一次的收款金额。

15.考虑一个十年期的投资项目:第一年初投入者投入10000元,第二年初投入5000元,然后每年初只需投入维修费1000元。

该项目期望从第六年底开始有收益:最初为8000元,以后每年递增1000元。

用DCF法计算该投资项目的价值。

特别如果贷款利率为10%,该项目是否有投资价值16.某项10年期贷款,年利率为8%,如果还款额同时以年利率为7%在投资,求下列情况下的实际收益率:1)到期一次还清;2)每年还利息,到期还本金;3)每年等额分期偿还。

17.某基金投资者:每年初投入一定本金,共投资10年。

基金本身的年回报率为7%,年底支付。

分别对再投资利率为5% 和8% 两种情况下,讨论投资者的实际收益率。

18.讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率:1)每年末(一个计息期)投资1单位资金,每年(一个计息期)的直接投资收益率为i;2)投资的回报方式为:逐年(一个计息期)收回利息,结束时收回本金; 3)同时将每年的利息收入以再投资利率为j进行再投资。

资金流程图如下:19. 投资者购买以下五年期的金融产品:1)每年底得到1000元;2)每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资,实际年收益率为4%。

求该金融产品的购买价。

20.某投资者连续五年每年向基金存款1000元,年利率5%,同时利息收入可以年利率为4%投资。

给出第十年底的累积余额表达式。

21.1万元的贷款计划20年分年度还清,每年底还款1000元。

如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资,计算贷款方的实际收益率。

22.某活期存款账户年初余额为1000元,4月底存入500元,六月底和八月底分别提取200元和100元,年底余额为1236元,求该储户的年资本加权收益率。

23.某投资账户年初余额为10万元,5月1日的余额为万元,同时投资3万元,11月1日余额将为万元,同时提取万元,在下一年的1月1日又变为10万元。

分别用资金加权和时间加权求投资收益率。

24.某基金由两个投资人,甲年初在基金中有资金1万元,年中又投入1万元,乙年初有2万元,上半年收益率为10%,下半年收益率为20%,利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。

25.债券A ,面值为A P ,收益率为A i ,无违约风险;债券B ,面值为B P ,收益率为B i ,违约概率为p (10<<p ),如果违约发生则到期债券的价值为0,即债券B 在到期时的价值为随机变量{不违约违约..................B P B X 0=。

问题:在什么条件(A P ,B P ,p ,A i ,B i 满足什么关系)下,债券A 和债券B 对投资者来说有相同的期望收益分析:要使两债券在到期时有相同的期望收益,两债券期末的期望本利和应相同,所以应有关系:)]([)(B B A A i X E i P +=+11 即:))(()(B B A A i p P i P +-=+11126.某按月摊还的债务,年实际利率为11%,如果第三次还款中的本金量为1000元,计算第33次还款中本金部分的金额。

27.某借款人借款2000元,年利率为10%,要求两年内还清。

借款人以偿债基金方式还款:每半年向基金存款一次,而且存款利率为季度挂牌利率8%,求每半年应偿债基金的存款额。

并构造偿还表。

28.假设一笔贷款期限为5年,贷款利率为10%,如果贷款人计划每年末的总付款额为:1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。

试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。

基本概念:1. 实际利率、单利法 、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现m 次贴现值的名义贴现率、单位度量期上结转m 次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原则、 经历利率原则、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、内涵报酬率、2. 利率水平是受债券或货币的供求关系影响,决定利率水平的两种理论模型:可贷资金模型和流动性偏好模型。

3. 一般情况下,在其他条件不变的情况下,收益率曲线随期限变化的规律是:期限越长,收益率越大,收益率是关于期限的单调增函数,或者说:长期利率大于短期利率。

4. 常见的用于解释利率期限结构的理论模型有 纯粹预期假设、流动性偏好假设、市场分割假设、区间(完全)偏好假设等。

5. 影响债券供给曲线的因素:经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律。

6. 影响债券需求曲线的主要因素有:经济周期、价格风险、流动性、预期利率、预期通货膨胀率。

7. 内涵报酬率可以用来对投资项目进行评价:当内涵报酬率大于投资者预先设定的利率时,投资项目可行。

8. 投资收益率的计算方法主要有:币值加权平均法和时间加权平均法。

9. 投资收益的分配方法主要有:投资额法(投资组合法)和投资年法 10. 当债券存在违约风险时,对风险的补偿方式有:提高收益率和降低发行价。

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