3匀变速直线运动的位移与时间的关系课时1位移与时间的关系式一、匀速直线运动的位移1．位移公式：x＝v t.2.位移在v－t图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.图1所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的位移．图1二、匀变速直线运动的位移某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.(1)把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图2所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移约等于各个小矩形的面积之和．图2(2)把运动过程划分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．图3(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC ，如图4所示，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．图4(4)v －t 图线下面梯形的面积 S ＝12(OC ＋AB )·OA 把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成 x ＝12(v 0＋v )t ① 又因为v ＝v 0＋at②由①②式可得匀变速直线运动的位移公式为： x ＝v 0t ＋12at 2.1．判断下列说法的正误．(1)位移公式x ＝v 0t ＋12at 2仅适用于匀加速直线运动．( × )(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × ) (3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．( √ ) (4)匀变速直线运动的x －t 图象是一条倾斜的直线．( × )2．某质点的位移随时间的变化关系是x ＝(4t ＋4t 2) m ，则质点的初速度是v 0＝______ m /s ，加速度a ＝______ m/s 2，2 s 内的位移为________ m. 答案 4 8 24一、匀变速直线运动的位移时间关系式1．公式的适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：x ＝v 0t ＋12at 2为矢量公式，其中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v 0的方向为正方向．(1)a ：匀加速直线运动中，a 与v 0同向，a 取正值；匀减速直线运动中，a 与v 0反向，a 取负值．(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． 3．两种特殊形式(1)当v 0＝0时，x ＝12at 2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x 与t 2成正比．(2)当a ＝0时，x ＝v 0t ，即匀速直线运动的位移公式．例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝2 m/s 2，求： (1)第5 s 末物体的速度多大？ (2)前4 s 的位移多大？ (3)第4 s 内的位移多大？ 答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m解析 (1)第5 s 末物体的速度由v 1＝v 0＋at 1 得v 1＝0＋2×5 m /s ＝10 m/s. (2)前4 s 的位移由x 1＝v 0t ＋12at 2得x 1＝0＋12×2×42 m ＝16 m.(3)物体第3 s 末的速度v 2＝v 0＋at 2＝0＋2×3 m /s ＝6 m/s 则第4 s 内的位移x 2＝v 2t 3＋12at 32＝6×1 m ＋12×2×12 m ＝7 m.针对训练1 一质点做匀变速直线运动，第3 s 内的位移为12 m ，第5 s 内的位移为20 m ，则该质点运动过程中( ) A ．初速度大小为零 B ．加速度大小为4 m/s 2 C ．5 s 内的位移为50 mD ．第4 s 内的平均速度为8 m/s 答案 B解析 第3 s 内的位移等于前3 s 内位移与前2 s 内位移之差，即Δx 3＝x 3－x 2＝12 m ， 代入数据得v 0×3＋12a ×32－(v 0×2＋12a ×22)＝12① 同理可得：v 0×5＋12a ×52－(v 0×4＋12a ×42)＝20②联立①②解得v 0＝2 m /s ，a ＝4 m/s 2.故A 错误，B 正确；5 s 内的位移为x ＝v 0t 5＋12at 52＝60 m ，C 错误；第4 s 内的位移为Δx 4＝x 4－x 3＝v 0t 4＋12at 42－(v 0t 3＋12at 32)＝16 m ，则第4 s 内的平均速度v ＝Δx 4t ＝161m /s ＝16 m/s ，D 错误． 二、刹车问题分析例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 km /h 的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s 2，求： (1)开始制动后，前2 s 内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前5 s 内汽车行驶的距离． 答案 (1)30 m (2)40 m解析 汽车的初速度v 0＝72 km /h ＝20 m/s ，末速度v ＝0，加速度a ＝－5 m/s 2；汽车运动的总时间t ＝v －v 0a ＝0－20 m/s－5 m/s 2＝4 s.(1)因为t 1＝2 s<t ，所以汽车2 s 末没有停止运动 故x 1＝v 0t 1＋12at 12＝(20×2－12×5×22) m ＝30 m.(2)因为t 2＝5 s>t ，所以汽车5 s 时早已停止运动 故x 2＝v 0t ＋12at 2＝(20×4－12×5×42) m ＝40 m.刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间；(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．针对训练2 汽车以20 m /s 的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s 2，则它关闭发动机后通过37.5 m 所需时间为( ) A ．3 s B ．4 s C ．5 s D ．6 s 答案 A解析 根据x ＝v 0t ＋12at 2，将v 0＝20 m /s ，a ＝－5 m/s 2，x ＝37.5 m ，代入得：t 1＝3 s ，t 2＝5 s但因刹车时间t 0＝0－v 0a ＝4 s ，所以t 2＝5 s 应舍去．故只有选项A 正确．三、逆向思维法解题在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．例3 物体做匀减速直线运动，初速度为10 m /s ，加速度大小为1 m/s 2，则物体在停止运动前1 s 内的平均速度为( ) A ．5.5 m /s B ．5 m/s C ．1 m /s D ．0.5 m/s答案 D解析 物体减速时间t 0＝v －v 0a ＝0－10－1s ＝10 s该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a ′＝1 m/s 2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s 内的位移与逆运动第1 s 内的位移相等．由x ＝12a ′t 2＝12×1×12 m＝0.5 m ，故物体停止运动前1 s 内的平均速度v ＝xt＝0.5 m/s ，选项D 正确．对于末速度为0的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v ＝at ，x ＝12at 2，计算更为简洁.1．(位移与时间的关系)一个做匀变速直线运动物体的位移与时间的关系为x ＝5t －5t 2(位移以米为单位，时间以秒为单位)，下列说法中错误的是( )A ．这个物体的初速度大小是5 m/sB ．这个物体的加速度大小是10 m/s 2C ．这个物体的加速度方向与初速度方向相反D ．经过1 s 后，物体的速度变为零 答案 D解析 根据x ＝v 0t ＋12at 2＝5t －5t 2得，物体的初速度v 0＝5 m /s ，加速度a ＝－10 m/s 2，故A 、B 正确．物体的初速度为正值，加速度为负值，可知加速度方向与初速度方向相反，故C 正确．物体速度减为零的时间t ＝0－v 0a ＝－5－10s ＝0.5 s ，故D 错误．2．(位移与时间的关系)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m ，则下列说法正确的是( ) A ．物体运动的加速度为2 m/s 2 B ．物体第2秒内的位移为4 m C ．物体在第3秒内的平均速度为8 m/sD ．物体从静止开始通过32 m 的位移需要4 s 的时间 答案 D解析 根据x 1＝12at 12得，物体运动的加速度a ＝2x 1t 12＝2×21 m /s 2＝4 m/s 2，故A 错误．物体在第2 s 内的位移x 2＝12at 22－12at 12＝12×4×(4－1)m ＝6 m ，故B 错误．物体在第3 s 内的位移x 3＝12at 32－12at 22＝12×4×(9－4) m ＝10 m ，则第3 s 内的平均速度为10 m/s ，故C 错误．物体从静止开始通过32 m 的时间t ＝2xa＝2×324s ＝4 s ，故D 正确． 3．(逆向思维法的应用)(多选)用相同材料做成的A 、B 两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙程度相同的水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的( ) A ．时间之比为1∶1 B ．时间之比为2∶3 C ．距离之比为4∶9 D ．距离之比为2∶3答案 BC解析 由匀变速直线运动的速度公式v ＝v 0＋at ，得t ＝v －v 0a ＝－v 0a ，因为加速度相同，因此运动时间之比就等于初速度之比，选项A 错误，B 正确；将其看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式x ＝12at 2，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C 正确，D错误．4．(刹车问题)(2018·浙江9＋1高中联盟联考)汽车在平直公路上以v 0＝10 m /s 的速度做匀速直线运动，发现前面有情况紧急刹车，获得的加速度大小为2 m/s 2，求： (1)汽车刹车后3 s 末的速度； (2)汽车刹车后6 s 内的位移． 答案 见解析解析 汽车刹车共经历时间t 0＝v 0a ＝102 s ＝5 s ，(1)v ＝v 0－at ＝(10－2×3)m /s ＝4 m/s ，方向与v 0方向相同(2)汽车刹车后6 s 内的位移x ＝v 0t 0－12at 02＝25 m ，方向与v 0方向相同.一、选择题1．根据匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2和x ＝v t ，关于做匀加速直线运动的物体在t 时间内的位移，下列说法正确的是( ) A ．加速度大的物体位移大 B ．初速度大的物体位移大 C ．末速度大的物体位移大 D ．平均速度大的物体位移大 答案 D解析 由x ＝v t 知，t 一定时平均速度大的物体位移大，选项D 正确．2．(多选)一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x ＝10t －t 2(m)，则( ) A ．质点初速度为10 m/s B ．质点的加速度大小是1 m/s 2 C ．2 s 末的速度为6 m/sD ．在2 s 末，质点在出发点西边，距出发点24 m 答案 AC3．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t 内通过的位移为x ，则它从出发开始经过4x 的位移所用的时间为( )A.t 4B.t2 C ．2t D ．4t 答案 C解析 由x ＝12at 2和4x ＝12at ′2，得：t ′＝2t ，故C 对．4．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s 内的位移是1 m ，物体在第3 s 内的位移是( )A ．2 mB ．3 mC ．5 mD ．8 m 答案 C解析 根据x 1＝12at 12得物体的加速度为：a ＝2x 1t 12＝2×112 m /s 2＝2 m/s 2，则物体在第3 s 内的位移为：x ′＝12at 32－12at 22＝12×2×(9－4) m ＝5 m.5．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，将其运动时间顺次分成1∶2∶3的三段，则每段时间内的位移之比为( ) A ．1∶3∶5 B ．1∶4∶9 C ．1∶8∶27 D ．1∶16∶81答案 C解析 根据x ＝12at 2可得：物体通过的第一段位移为：x 1＝12at 2又前3t 时间内的位移减去前t 时间内的位移就等于第二段的位移，故物体通过的第二段位移为：x 2＝12a (3t )2－12at 2＝12a ×8t 2，又前6t 时间内的位移减去前3t 时间内的位移就等于第三段的位移，故物体通过的第三段位移为：x 3＝12a ×(6t )2－12a (3t )2＝12a ×27t 2.故每段时间内的位移之比为：1∶8∶27.6．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s 末的速度为2 m/s ，下列叙述中正确的是( )A ．前10 s 内通过的位移为10 mB ．每秒速度变化0.2 m/sC ．前10 s 内平均速度为1 m/sD ．第10 s 内的位移为2 m 答案 ABC解析 由v ＝at ，得a ＝0.2 m/s 2，故前10 s 内的位移x ＝12at 2＝12×0.2×102 m ＝10 m ，选项A 、B 正确．前10 s 内平均速度v ＝x t ＝1010 m /s ＝1 m/s ，选项C 正确．第10 s 内的位移x 10＝12at 2－12a (t －1)2＝1.9 m ，选项D 错误． 7．交通规则规定：在路口通行的汽车，当红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许继续通行．在交通高峰期，某十字路口的汽车排成笔直的长队，假设相邻两车车头最前边缘之间的距离均为6 m ，汽车启动时的加速度均为2.0 m /s 2，当速度增加到8 m/s 后都做匀速运动．现在，如果最前面一辆汽车前端刚好与停车线相齐，绿灯亮起所有司机同时启动汽车，则在绿灯亮的36 s 时间内最多可以通过的汽车数为( ) A ．44辆 B ．45辆 C ．46辆 D ．47辆 答案 C解析 汽车加速时间为：t 1＝v a ＝82.0 s ＝4 s,36 s 时间，汽车能行驶的位移为：x ＝12at 12＋v (t －t 1)＝12×2.0×42 m ＋8×32 m ＝272 m. 所以有：n ＝x L ＝2726≈45.3.根据题意，能有46辆汽车通过路口，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．8．一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s ，整列车厢通过他历时6 s ，则这列火车的车厢有( ) A ．3节 B ．6节 C ．9节 D ．12节 答案 C解析 设一节车厢长为L ，则L ＝12at 12，nL ＝12at 22将t 1＝2 s ，t 2＝6 s 代入上面两式解得：n ＝9，选项C 正确．9．一辆汽车以20 m /s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s 内与刹车后6 s 内汽车通过的位移大小之比为( )A ．1∶1B ．3∶4C ．3∶1D ．4∶3 答案 B解析 汽车的刹车时间t 0＝205s ＝4 s ，故刹车后2 s 内及6 s 内汽车的位移大小分别为x 1＝v 0t 1＋12at 12＝20×2 m ＋12×(－5)×22 m ＝30 m ，x 2＝20×4 m ＋12×(－5)×42 m ＝40 m ，x 1∶x 2＝3∶4，B 正确．10．一辆汽车做匀速直线运动，某时刻遇到紧急情况需刹车，刹车后的第1秒内运动了8 m ，第2秒内运动了4 m ，关于汽车的运动和刹车过程，下列说法正确的是( ) A ．汽车匀速运动时的速度是8 m/s B ．汽车刹车时的加速度大小是2 m/s 2 C ．汽车刹车后3秒末的加速度为0 D ．汽车刹车后运动的距离是16 m 答案 C解析 由位移时间公式可知， v 0×1＋12a ×12＝8① v 0×2＋12a ×22－8＝4②由①②联立得v 0＝10 m /s ，a ＝－4 m/s 2，A 、B 错误．刹车减速到零所需时间t ＝0－v 0a ＝0－10－4 s ＝2.5 s ，故刹车后3 s 末的速度为零，故C 正确．刹车后的运动距离为x ＝v 0t ＋12at 2＝10×2.5 m －12×4×2.52 m ＝12.5 m ，故D 错误．二、非选择题11．一物体由静止开始做匀加速直线运动，前4 s 内的位移是64 m ，求： (1)物体在前一半时间内所通过的位移大小． (2)经过后一半位移所需的时间． 答案 (1)16 m (2)(4－22) s解析 (1)由x ＝12at 2，得a ＝2x t 2＝2×6416 m /s 2＝8 m/s 2，则物体在前一半时间内的位移x 1＝12at 12＝12×8×22 m ＝16 m. (2)根据x ′＝12at ′2，得t ′＝2x ′a＝2×328＝2 2 s ，经过后一半位移所需时间t ″＝t －t ′＝(4－22) s.12．汽车以v 0＝10 m /s 的速度在水平路面上匀速运动，刹车后经过2 s 速度变为6 m/s ，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：(1)从开始刹车起，汽车在6 s 内发生的位移大小；(2)汽车停止前2 s 内通过的位移大小．答案 (1)25 m (2)4 m解析 (1)汽车刹车时的加速度：a ＝v －v 0t ＝6－102m /s 2＝－2 m/s 2，则汽车速度减为零所需的时间：t 0＝0－v 0a ＝－10－2s ＝5 s ＜6 s ．则6 s 内的位移等于5 s 内的位移：x ＝v 0t 0＋12at 02＝10×5 m －12×2×52 m ＝25 m. (2)采用逆向思维，汽车在停止前2 s 内的位移：x ′＝12a ′t ′2＝12×2×22 m ＝4 m.。