2014年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题； 春季高考，共32道试题，满分150分．考试时间120分钟 （学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟； 其中第30-32题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得3分，否则一律得零分．1．若416x=，则x = ．2．计算：(1)=i i + （i 为虚数单位）． 3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是 ． 4．若函数3()f x x a =+为奇函数，则实数a = ． 5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是 ． 6．函数11y x =+的反函数为 ． 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ．8．已知1cos 3α=，则cos2α= ． 9．已知a 、b R +∈。

若1a b +=，则ab 的最大值是 ．10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示）． 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分 钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里． 12．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．两条异面直线所成的角的范围是（ ）()A (0,)2π； ()B (0,]2π；()C [0,)2π； ()D [0,]2π14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（ ）()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =16．在4(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 117．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）()A 2y x =； ()B y x =； ()C s i n y x =； ()D 3y x =18．cos sin sin cos θθθθ-=（ ）()A cos 2θ； ()B s i n 2θ； ()C 1； ()D 1-19．设0x 为函数()22xf x x =+-的零点，则0x ∈（ ）()A (2,1)--； ()B (1,0)-； ()C (0,1)； ()D (1,2)20．若a b >，c R ∈，则下列不等式中恒成立的是（ ）()A 11a b <； ()B 22a b >； ()C a c b c >； ()D 2211a b c c >++ 21．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）()A 2:3 ()B 4:9 ()C 8:27 ()D 22:3322．已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列．若2n n b a =-，则数列{}n b 是（ ）()A 以q 为公比的等比数列； ()B 以q -为公比的等比数列；()C 以2q 为公比的等比数列； ()D 以2q -为公比的等比数列23．若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的( )()A 充分非必要条件； ()B 必要非充分条件； ()C 充分必要条件； ()D 既非充分又非必要条件24．如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分， 则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（ ）()A 1 ()B 32 ()C 62 ()D 104三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分7分） 已知不等式201x x -<+的解集为A ，函数lg(1)y x =-的定义域为集合B ，求A B ．26．（本题满分7分）已知函数2()4,[3,3]f x x x a x =-+∈-.若(1)2f =，求()y f x =的最大值和最小值.27．（本题满分8分）如图，在体积为13的三棱锥P ABC -中，PA 与平面ABC 垂直，1AP AB ==，2BAC π∠=，E 、F 分别是PB 、AB 的中点.求异面直线EF 与PC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左焦点为F ，上顶点为B .（1）若直线FB 的一个方向向量为3(1,)3，求实数a 的值； （2）若2a =，直线:2l y kx =-与椭圆C 相交于M 、N 两点，且3FM FN ⋅=，求实数k 的值．B i...B29．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线221:1()n n n x y C n N a a *+-=∈.（1）若121,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-，求{}n a 的通项公式；（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)nn PP x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆的面积为n S .若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞.（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)nn n u A u →∞=≥，则lim n n u A →∞=）30．（本题满分8分）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为,b a ，如图，过AC 边的n 等分点i A作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为(1,2,,1)i P i n =-．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点(1,2,,1)i P i n =-都在这条曲线上？说明理由．31．（本题满分8分）某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻 测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。

假设地球赤道是一个半径 为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01º）．32．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.如果存在非零常数c ，对于函数()y f x =定义域R 上的任意x ，都有()()f x c f x +>成立， 那么称函数为“Z 函数”.（1）求证：若()()y f x x R =∈是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数32()g x ax bx =+时“Z 函数”，求实数,a b 满足的条件．参考答案一、填空题（第1题至第12题）1、22、i +-13、24、05、226、11-=xy 7、2n 8、97-9、41 10、125 11、26 12、1)1()1(22=-+-y x二、选择题（第13题至第24题）13、B 14、A 15、B 16、A 17、D 18、C 19、C 20、D 21、B 22、A 23、C 24、D 三、解答题（第25题至第29题） 25、解：012<+-x x 的解集是)2,1(-=A ；由1,01>>-x x 得，即),1(+∞=B ；因此，)2,1(=B A ． 26、解：由(1)142f a =-+=，得5a =，22()45(2)1f x x x x =-+=-+，因为当[3,2]x ∈-时，()f x 单调递减；当[2,3]x ∈时，()f x 单调递增；由于(3)26,(2)1,(3)2f f f -===，所以当[3,3]x ∈-时，26)(max =x f ，1)(min =x f ．27、解：由1111.11,3323ABC V S PA AC ∆==⨯⨯⨯⨯=得AC 2=， 因为PA EF //，所以异面直线EF 与PC 所成的角为APC ∠，由直角三角形PAC ，则2tan =∠APC ，异面直线EF 与PC 所成角为2arctan ． 28、解：（1）易知)0,1(),1,0(2--a F B ，所以)1,1(2-=a FB又因为)33,1(是直线FB 的一个方向向量，所以11332=-⨯a ，因为1a >，所以2=a ． （2）由2=a ，知)0,1(-F ，联立068)21(1222222=+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=kx x k y x kx y 得． 设),(),,(2211y x N y x M ，则 ),1(),,1(2211y x FN y x FM +=+= ，221221216,218k x x k k x x +=+=+ 12121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)F M F N x x y y x x k x k x ⋅=+++=+++--21212(1)(12)()5k x x k x x =++-++2811312k k+==+ 解得2k =或23k =-，又因为0>∆，故2=k ． 29、（1）由题意，141-=++n a a n n 则3421+=+++n a a n n ；两式相减得：42=-+n n a a所以21{}k a -是以1为首项，4为公差的等差数列，得2114(1)43k a k k -=+-=-；2{}k a 是以2为首项，4为公差的等差数列，得224(1)42k a k k =+-=-；所以).(2,2212,12*N k k n n k n n a n∈⎩⎨⎧=--=-=（2）由题意，则2211np n n x n a a +-=，所以21n n p n n a x n a a +=+ 双曲线的渐近线1:n n OQ n a l y x a +=，所以1n nQ n a x n a +=211lim 11lim lim 22lim lim 1lim lim lim lim nn n n n nnn n n n n n n n n a S a a a a a n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++→∞→∞=⨯=+⨯+，所以2111lim lim ()2n n n n n n n n a a S n n a n a a →∞→∞++=+-2111lim2nn n nn n n na a a n a n a a →∞++=++2111lim 2nn n n nn n a a a a a a n →∞++=++211lim 1lim 2lim lim 1lim lim lim lim nn n nnn n n n n n n n n a a a a a a n →∞→∞→∞→∞→∞→∞++→∞→∞=⨯+⨯+12=； 所以lim n n S →∞=21． 30、解：以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，过A 作AC 的垂线为y 轴建立直角坐标系； 则,0iiA b n （），），（a n i bB i ，11()i n i N *≤≤-∈；∴i l ：x bnaiy =，i d ：b n i x =；∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==bn i x x bn ai y ⇒22i i i P b a n n （，）⇒22a y x b = ∴存在满足条件的圆锥曲线（抛物线x b a y 2=）．31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中O 为球心，B A 、分别为甲、乙监测点，C 为卫星所在位置， D 为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明C 的位置，且AC BC >，故有以下三种情况）．易得6378OA OB OD ===，016=∠AOB ，45.1537=AC ，64.887=BC在AOB ∆中，222cos 1775.292AB OA OB OA OB AOB AC BC =+-⋅∠≈>>；∴在ABC ∆中，ACB ∠最大，即BAC ∠、030=∠BAC 都是锐角，所以选择第三张图；∴2223c o s 22AB AC BCBAC AB AC+-∠=≈30.000BAC ⇒∠≈112.000O A C ⇒∠≈； ∴在AOC ∆中，222cos 7098.543OC AC AO AC AO OAC =+-⋅∠≈；∴720.543h OC OD =-≈，即卫星高度为km 54.720； 又在BOC ∆中，997.02cos 222≈-+=∠OC OB BCOC OB BOC 4.415BOC ⇒∠≈；∴147 4.415142.5-≈∴即卫星位于赤道上东经142.58．32、解：（1）[证明] ① 当函数)(x f y =是单调递增函数时，则)()1(x f x f >+对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1=c ，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立；∴)(x f y =是“Z 函数”；② 当函数)(x f y =是单调递减函数时，则(1)()f x f x ->对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1c =-，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立；∴)(x f y =是“Z 函数”；（2）由题意，若函数32()g x ax bx =+是“Z 函数”，则存在非零常数c ，对于定义域R 上的任意x ，都有)()(x g c x g >+恒成立，即2323)()(bx ax c x b c x a +>+++；化简后，得22323(32)()0acx ac bc x ac bc ++++>恒成立；则223230(32)43()0ac ac bc ac ac bc >⎧⎨∆=+-⋅+<⎩化简后，得233abca>⎧⎪⎨>⋅≥⎪⎩或233abca<⎧⎪⎨<-⋅≤⎪⎩∴只需满足条件0 ab R≠⎧⎨∈⎩．。