§3.3 泰勒公式常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。

当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。

自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的 次多项式近似?e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小x f x ()p x n ()p x n ()f x ()p x n ()p x n ()f x ()R x f x p x n n ()()()=-f x ()x 0n +1()x x -0n ),,1,0()()()1()()()()(0)(0)(0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n nn n ==-++-+-+=且f x ()【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。

……………上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：R x f x p x n n ()()()=-a a a n01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00()'=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴='a p x n 10()''=⋅⋅+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-++⋅-⋅⋅--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴⋅⋅=''2120a p x n ()'''=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅⋅-++⋅-⋅-⋅⋅--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴⋅⋅⋅='''32130a p x n ()于是，所求的多项式为：(2)二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：a p x f x a p x f x a p x f x a p x f x k k k a p x f x a f x a f x a n n n n k n k k 000100200300000010212132112211==⋅='='⋅⋅=''=''⋅⋅⋅='''='''--⋅⋅===='=()()()()()()()(),()()()(),:()()!()()一般地有从而得到系数计算公式''='''==f x a f x a fx k k n k k ()!()!()!(,,,,)()030023012 p x f x f x x x f x k x x f x n x x n k k n n()()()!()()!()()!()()()=+'-++-++-00000001 f x ()x 0(,)a b n +1x a b ∈(,)f x ()f x p x R x f x f x k x x f n x x n n k k nk n n ()()()()()!()()()!()()()=+=+⋅-++⋅-=++∑00101011ξξx 0x这表明：只要对函数及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】 以与为端点的区间或记为 ，。

函数 在上具有直至 阶的导数，且函数 在上有直至阶的非零导数， 且于是，对函数及在上反复使用 次柯西中值定理， 有f x p x R x f x p x R x f n x x R x x x f n R x f x p x k n q t t x q n n n n n n n n n n k k n k n k ()()()()()()()()!()()()()()!:()()()(,,,,)()(),()()()()()()=+⇔-==+-⇔-=+=-===-+++++10101100001110012ξξ注意到 ()(,,,,),()()!(())[()](())()()(),()()()()()()()()()()()()(x k n q t n q t t n p t p t t n R t f t p t R t f t R x R x q x q x R t q n n n n n n n n n n n n n n 011110010012110==≡++≡=-=⇔--=++++++ 因是关于的次多项式因是关于的次多项式取则1)()t t =ξR t f t p t n n ()()()=-q t t x n ()()=-+01x x 0n +1∀∈≠x a b x x (,)0x 0x [,]x x 0[,]x x 0I I a b ⊂(,)R t f t p t n n ()()()=-I n +1R x R x R x R x n n n n n ()()()()()00000='="=== R t f t n n n ()()()()++=11q t t x n ()()=-+01I n +1q x q x q x q x n ()()()()()00000='=''=== q t n n ()()()!+=+11R t n ()q t ()I n +1三、几个概念1、此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点 处的 阶泰勒展开式。

当 时， 泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。

因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若有此式可用作误差界的估计。

R x q x R x R x q x q x R q x x R R x q q x R q x R R x q q x R q n n n n n n n n n n ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()=--=''='-''-'="''="-"''-''=0011101010222012020333ξξξξξξξξξξξξ在与之间在与之间ξξξξξξξξξξξξξ330211111011101101111)()()()()!,()()()!()()()!()()()()()()在与之间在与之间记在与之间x R q x f n x x R x f n q x f n x x n n n n n n n n n n n n n n ===+==+⋅=+⋅-+++++++++++f x f x f x k x x f n x x k k nk n n ()()()!()()()!()()()=+⋅-++⋅-=++∑00101011ξf x ()()x x -0n f x ()x 0n n =0f x f x f x x f x f x x ()()()()!()()()()()=++-=+'⋅-++0010010001ξξR x f n x x n n n ()()()!()()=+⋅-++1011ξn f x Ma x bn ()()+≤<<1R x Mn x x n n ()()!≤+⋅-+101故表明： 误差是当时较 高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若，则在 与 之间，它表示成形式 ，泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式近似公式误差估计式【例1】求的麦克劳林公式。

解：，于是有近似公式R x x x Mn x x x x n n()()()!()-≤+⋅-→→00010R x o x x x x n n()[()]()=-→00R x n ()x x →0()x x n-0x 00=ξ0x )10(<<⋅=θθξx )10()!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(1)1()(2<<+⋅+++''+'+=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f )10(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2<<++''+'+≈θnn x n f x f x f f x f R x Mn xn n ()()!≤++11f x e x()=f x e k n k x ()()(,,,,)==012 f f f f e n ()()()()()000010='=''==== f x e n x ()()+⋅⋅=1θθe x x x n en x x n xn =++++++⋅<<⋅+11210121!!!()!()θθe x x xn x n≈++++1122!!!其误差的界为我们有函数的一些近似表达式。

(1)、(2)、(3)、在matlab 中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求的 阶麦克劳林公式。

解：它们的值依次取四个数值。

其中：同样，我们也可给出曲线 的近似曲线如下，并用matlab 作出它们的图象。

R x e n xn xn ()()!≤+⋅+11y e x=y x ≈+1y x x ≈++1122y x x x ≈+++1121623f x x ()sin =n f x x n f n n n ()()()sin()()sin=+=ππ202f f f f f (),(),(),(),(),()()000100010034='=''==-= 0101,,,-sin !!()()!()x x x x x m R x m m m =-+-+--+--3512123521 R x x m m x m m 2212122101()sin[()]()!()=⋅++⋅+⋅<<+θπθy x =sin y x ≈y x x ≈-163y x x x≈-+16112035【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。