1．平衡问题与正交分解法题型1．物体在粗糙水平面上的匀速运动例1．如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3, 物体质量为m =5.0kg ．现对物体施加一个跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力F ，使物体沿水平面做匀速运动．求拉力F 的大小．解析：物体受四个力：mg 、 F N 、f 、F ．建立坐标系如图所示．将拉力F 沿坐标轴分解．F x = F cosθ F y = F sinθ根据共点力平衡条件，得X 轴：∑ F x = 0 F cosθ — f = 0 ………⑴Y 轴：∑ F y = 0 F sinθ + F N — mg = 0………⑵公式 f = μ F N ………⑶将⑵⑶代入⑴ F cosθ= μ F N = μ (mg — F sinθ )解得 F = θμθμsin cos +mg =N 156.03.08.08.90.53.0=⨯+⨯⨯归纳解题程序：定物体，分析力→建坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果．变式1：如果已知θ 、m 、F ，求摩擦因数μ。

变式2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F ，θ、m 、μ均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。

结果 F = =⨯-⨯⨯=-6.03.08.08.90.53.0sin cos θμθμmg 23.71N 讨论：当θ增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。

求这个临界角。

这里的无论多大，可以看成是无穷大。

则由上式变形为cosθ—μsinθ =F mg μ 时 当 F→∞时， F mgμ → ０ 则令cosθ—μsinθ = 0所以有 co t θ= μ 或 tanθ = μ1 θ = tan —1 μ1变式3．如果先用一个水平拉力F 0恰好使物体沿水平面做匀速运动．则这个F 0有多大？现在用同样大小的力F 0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多大？解法一：物体受五个力：mg 、 F N 、f 、两个 F 0。

由共点力平平衡条件得当只有一个F 0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F 0 = f = μ mg水平方向∑F x = 0 F 0+ F 0cosθ — f = 0竖直方向∑F y =0 F N — F 0sinθ —mg = 0解得 μ = cotθ θ = cot —1μ .解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力F 0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有 F 0 cos θ = △f = μ F sin θ所以得 co t θ = μ题型2．物体在粗糙斜面的匀速运动例2．（见教材P 65例2）物体A 在水平力F 1=400N 的作用下，沿倾角θ=60°的斜面匀速下滑，如图⑴所示，物体A 受的重力G =400N.．求斜面对物体A 的支持力和A 与斜面间的动摩擦因数μ．解析：物体匀速下滑，摩擦力f 沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f ．F ．如图所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得 x 轴 mg sin60° —f —F cos60° = 0………⑴y 轴 F N —mg cos60°—F sin60° = 0 ………⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由⑴ f = mg sin60°— F cos60° = 400×3/2 —400×0.5= 146N由⑵ F N =mg cos60° + F sin60° = 546N由⑶ μ = f / F N = 146 /546 = 0.27．变式1．如果m 、θ= 60°、μ= 0..27保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力f 改为沿斜面向下。

物体匀速下滑，摩擦力f 沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f ．F ．如图所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得x 轴 F cos60°—f —mg sin60°= 0………⑴y 轴 F N —mg co s60°—F sin60° = 0 ………⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由以上三式得 F = =-+mg o o oo 60sin 60cos 60cos 60sin μμ1481.5N 变式2．如果物体A 的质量m ，A 与斜面间的动摩擦因数μ，斜面倾角θ=60°是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力F 多大时，物体能保持不动．解析：⑴用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力f max = μ F N ,方向沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f max ．F ．如图⑴所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得x 轴 mg sinθ —f max —F cosθ = ………0⑴y 轴 F N —mg cosθ—F sinθ = 0……… ⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由⑴⑵⑶解得 F = mg θμθθμθsin cos cos sin +- ⑵当物体恰好不上滑时，f max 沿斜面向上，物体受力如图⑵所示，在两坐轴上的方程如下 x 轴 F cosθ—f max —mg sin θ= 0………⑷y 轴 F N —mg cosθ—F sinθ = 0 ………⑸公式 f = μ F N ……… ⑹由以上三式解得 F = mg θμθθμθsin cos cos sin -+ 要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力F 的取值范围是mg θμθθμθsin cos cos sin +-≤ F ≤mg θμθθμθsin cos cos sin -+ 变式练习：如果推力F 沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围如何？题型3．物体沿竖直墙壁运动例3．物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为μ，用一个斜向上的推力F可以使物体沿竖直墙壁做匀速运动，物体质量为m．求F的大小．解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。

⑴物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图⑴所示。

由共点力平衡条件得x轴F1sinθ = F N………1⑴y轴 F1cosθ = mg + f1………⑵公式f1= μ F N1………⑶mg由⑴⑵⑶得F1 =θsinμθcos-变式1．如图所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F作用在物体上，要使物体A静止于墙上，则F的取值是____________。

变式2．重为30N的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成θ=53°的推力F=50N托住物体。

物体处于静止，如图所示。

这时物体受到的摩擦力是多少？题型4．质量为5kg的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为37°时,木块恰能沿木板匀速下滑．当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37°=0.6, cos37°=0.8,g=10N/kg）.解析：木块沿木板匀速下滑时，有mg sinθ = f= μ mg cosθ得μ = tan θ = 0.75当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力F = f= μ mg = 0.75×5×10 N = 37.5N变式题．质量为3kg的物体，放在倾角为30°的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体物体能否保持匀速运动解析：物体自由地匀速下滑时，有mg sinθ —μ mg cosθ = 0………⑴或变为 sinθ—μ c osθ = 0………⑵当对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力G′ = F + mg………⑶则物体沿斜面方向受的合力为∑F= G′sinθ—μG′cosθ= ( F+ mg)sinθ—μ (F+mg)cosθ………⑷将⑴式代入⑶得∑ F = F(sinθ —μ c osθ ) = 0即物体仍然做匀速运动。

变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为m的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：Ｍg sinθ—μＭg cosθ = 0在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为∑F =( M +m) g sinθ—μ( M+m) g cosθ = mg ( sinθ—μ cosθ ) = 0木箱仍然能保持匀速运动。

小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有F N = mg sinθ题型6．如图所示，质量为m＝5kg的物体，置于倾角为＝30°的粗糙斜面块上，用小等于3N的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于( )3NA．5N B．4N C．3N D．3解答：在斜面平面内物体的受力分析如图1-33所示，根据平衡条件得()22sin=+，其中F＝3N，m＝0.8kg，θ=30°，代入得f=5N。

f F mgθ本题的正确选项为（A）。

题型7．如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。

OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、100N和200N，为保证绳子都不断，OC绳所悬重物不得超过多重？解析：结点O受三个力： F AO、F BO、F CO而平衡，根据任两个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图设BO绳恰好拉断，即F BO =100N，则F AO = F BO cot 30° = 1003N＞150N，F CO= F BO/ sin30°= 2F BO= 200N, CO绳也恰好拉断。

所以，在BO和CO还达到承受限度之前，AO绳已被拉断。

应设AO绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为G = F AO/ cos30° = 150 / 3/2 = 1003N/ 0.8=250N＜300N，CO绳不会被拉断。

所以，CO绳悬挂的重物的最大质量为m，mg = F CO．m= F CO/ g = 25 kg变式2．如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？题型8（整体法也隔离法的应用）例题．如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？（7/3）变式1．如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。