(高等数学)第四章导数的应用第四章导数的应用第一节中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内对一切«Skip Record If...»有«Skip Record If...»或（«Skip Record If...»），则称«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极大值（或极小值）；并称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内有定义，且在«Skip Record If...»处可导,若«Skip Record If...»为极值，则必有：«Skip Record If...».证明：不妨设«Skip Record If...»为极大值。

按极大值的定义，则«Skip Record If...»的某个邻域，使对一切此邻域内的«Skip Record If...»有«Skip Record If...»--------------（1）所以，«Skip Record If...»«Skip Record If...»--------（2）又因为«Skip Record If...»存在，所以应有«Skip Record If...»---------（3）故，由（2）式及（3）式，必有«Skip Record If...».1．注意：使«Skip Record If...»的点«Skip Record If...»可能为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：«Skip Record If...»二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；（3）«Skip Record If...».则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明）证明：由闭区间上连续函数的性质，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有最大值M及最小值m.（1）若M=m，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以，«Skip Record If...»任取«Skip Record If...»，均满足«Skip Record If...»；（2）若«Skip Record If...»，则M和m中至少有一个不等于«Skip Record If...»，因此则M和m中至少有一个在区间内部某点«Skip Record If...»处取到.不妨设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的最大值，从而也是极大值。

又因 «Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导，则由费马定理知，«Skip Record If...».注意：罗尔定理中的三条件如缺少其中任何一条，则结论可能不再成立.反例1.«Skip Record If...»（不满足条件（1））；反例2.«Skip Record If...»，（不满足条件（2））；反例3.«Skip Record If...».2.定理3．拉格朗日中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意：（1）拉氏定理中，如仍有«Skip Record If...»,则结论将变为：必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».可见罗尔定理是拉氏定理的特殊情形；（3）拉氏定理的几何意义：在«Skip Record If...»上曲线«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使该点处的切线平行于弦AB.证明：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足罗尔定理的三个条件.所以，由罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».即，«Skip Record If...»..--------（*）注意：（1）注意到（*）式当«Skip Record If...»时仍然成立；（2）为方便应用，（*）式也常改写为«Skip Record If...»-----（**）（**）式称为拉格朗日中值公式；（3）罗尔定理及拉氏定理仅指明«Skip Record If...»，具体«SkipRecord If...»的位置是什么，定理本身并未明确指出.但在大多数问题中知道这一点已经足够了。

因此我们才称上述两定理为中值定理，这个“中”其实是“内部”的意思，并非“正中间”.中值定理是利用导数的局部性态来研究函数整体性态的重要工具；（4）为了强调中值«Skip Record If...»的位置特征，可记«Skip Record If...»；（5）故拉氏定理又可写为«Skip Record If...»----（4）（6）由拉氏定理，«Skip Record If...»上式称为有限增量公式.例1.验证：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点«Skip Record If...».解：（一）1.由«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，从而在«Skip Record If...»上连续；2.按左、右导数的定义不难求出«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»因此，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件. （二）由拉氏定理的结论：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».不难算得：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

注意：中值定理中结论只保证中间值«Skip Record If...»的存在性，至于«Skip Record If...»是否唯一，不唯一时有几个，如何求«Skip Record If...»？定理本身并未指出.例2．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»证明：«Skip Record If...»使«Skip Record If...»证明：（分析寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析.命题只须证«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，或者«Skip Record If...».故令«Skip Record If...»«Skip Record If...»。