第二章过关测试卷
（100分，45分钟）
一、选择题（每题6分，共48分）
1.等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，…，ca n(c为常数，且c≠0)是（）
A.公差为d的等差数列
B.公差为cd的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
2.已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a+1，a+4，则a n等于( )
A.4·2 3
n
⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4·
3
2
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C.4·
1
2
3
n-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D.4·
1
3
2
n-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
3.等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）
A.2
B.4
C.6
D.8
4.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的公比等于（）
A.1
B.-1
C.-2
D.2
5.〈江西吉安高三模拟〉若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S13=26
3
π
,则tan a7的值为
（）
33
-3 D.
3
3 -
6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n}满足2a3－2
7
a+2a11=0,数列{b n}为等比数列，且b7=a7,则b6b8等于( )
A.2
B.4
C.8
D.16
7.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m－1=－2,S m=0,
S m+1=3,则m等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
8.各项都是实数的等比数列{a n}的前n项和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40等于（）
A.150
B.-200
C.150或-200
D.400或-50
二、填空题（每题5分，共15分）
9.等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4= .
10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= . 11.〈新定义题〉若数列{a n }满足
21
1n n n n
a a a a +++-=k (k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1=1,a 2=2,则a 5= . 三、解答题（14题13分，其余每题12分，共37分）
12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=2
2a ,且S 1,S 2,S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.
13.〈辽宁五校协作体高二上学期期中考试〉数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,1n a + =2S n +1(n ∈N +),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. （1）分别求数列{a n },{b n }的通项公式； （2）设c n =22n n b a ++ (n ∈N +),求证c n +1＜c n ≤1
3
.
14.〈河南师大附中高二上学期期中考试〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =1
2
(3n +S n )对一切正整数n 均成立.
（1）求出数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =3
n
a n ,求数列{
b n }的前n 项和B n .
参考答案及点拨
一、1.B 点拨：∵a n －a n －1=d ,c ≠0,(n ≥2,n ∈N +)∴ca n －ca n －1=c (a n －a n －1)=cd (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.
2.D 点拨：由等比数列的性质可得(a +1)2=(a －1)(a +4),解得a =5.∴a 1=5－1=4，公比
q =513=42+，∴a n =4·1
32n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
3.C 点拨：由S 4-(a 2+a 4)=60，得a 1+a 3=60，∴q =
24
13
a a a a ++=3，又a 1+a 3=a 1+a 1·q 2=60，∴a 1=6.
4.D 点拨：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以4a 1+a 1q 2=4a 1q .因为a 1≠0，所以q 2－4q +4=0,解得q =2.
5.B 点拨：由题意，得S 13=13a 7=
263π,则a 7=23π,从而tan a 7=tan 23
π
6.D 点拨：因为{a n }是等差数列，所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化为4a 7－2
7a =0,解得a 7=4或a 7=0（舍去），又{b n }为等比数列，所以b 6b 8=27b =2
7a =16.
7.C 点拨：∵{a n }是等差数列,S m －1=－2,S m =0,∴a m =S m －S m －1=2.∵S m +1=3,∴a m +1=S m +1－S m =3,∴公差d =a m +1－a m =1.又S m =11()(2)
22
m m a a m a ++=
=0,∴a 1=－2,∴a m =－2+(m －1)·1=2,∴m =5.
8.A 点拨：方法一：由S m +n =S m +q m S n ,得S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10 +q 20S 10，从而有q 20+q 10－6=0,∴q 10=2(q 10=－3舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10
=70+23×10=150.故选A.方法二：由S 40= S 30+q 30
S 10, S 30＞0,q 30
＞0, S 10＞0,知S 40＞0,从而排除B 、C 、D,故选A.
二、9.15 点拨：设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1,2a 2,a 3成等差数列，∴4a 1+a 3=4a 2,即
4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴q 2
-4q +4=0,解得q =2,∴S 4=4
112
⨯-（1-2）
=15.
10.21 点拨：设{a n }的公差为d ,由题意知1111,
1,5(51)
0.510,2
a d d a a d +=⎧=⎧⎪
⎨⎨⨯-=+=⎩⎪⎩解得故S 7
=7a 1+
72
d ⨯（7-1）
=21. 11.384 点拨：由32212a a a a -=得，a 3=8,由34322a
a a a -=得，a 4=48,由5443
2a a a a -=得，a 5=384.
三、12.解：设{a n }的公差为d . 由S 3=22a ,得3a 2=2
2a ,故a 2=0或a 2=3.
因为S 1＝a 2－d ,S 2=2a 2－d ,S 4=4a 2+2d , S 1, S 2, S 4成等比数列， 所以(2a 2－d )2=(a 2－d )(4a 2+2d ).
若a 2=0,则d 2=－2d 2,所以d =0,此时S n =0,不符合题意，舍去； 若a 2=3,则(6-d )2
=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n －1.
13.（1）解：由1n a +=2S n +1①，得a n =2S n －1+1（n ≥2,n ∈N +）②, ①-②，得a n +1－a n =2(S n －S n －1),∴a n +1=3a n ,∴a n =3n －
1； 设{b n }的公差为d ,
∵b 5－b 3=2d =6,∴d =3.∴b n =3n －6.
（2）证明：∵a n +2=3n +1,b n +2=3n ，∴c n =
133n n +=3
n n
， ∴c n +1－c n =1123n n +-＜0，∴c n +1＜c n ＜…＜c 1=1
3，
∴c n +1＜c n ≤1
3
.
14.解：（1）由已知得S n =2a n －3n ,则S n +1=2a n +1－3(n +1), 两式相减并整理得：a n +1=2a n +3,所以3+a n +1=2(3+a n ). 又a 1=S 1=2a 1－3,所以a 1=3，所以3+a 1=6≠0, 所以a n +3≠0,所以
1
33n n
a a +++ =2,
故数列{3+a n}是首项为6，公比为2的等比数列，
所以3+a n=6×2n－1,即a n=3(2n－1).
（2）b n=n(2n－1)=n2n－n.设T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①则2T n=1×22+2×23+…+（n－1）2n+n×2n+1，②
②－①，得T n=－(2+22+23+…+2n)+n2n+1=
1
22
12
n+
-
-+
-
n2n+1=2+(n－1)2n+1.
∴B n=T n－(1+2+3+…+n)=2+(n－1)2n+1－
(1)
2
n n+
.。