课时作业74 不等式的证明
1．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：a 2＋b 2＋c 2
≥13
；
(2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
证明：(1)∵a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ca ，∴a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca ， ∵(a ＋b ＋c )2
＝1，∴a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2
≥13
.
(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即
a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a
≥a ＋b ＋c ， ∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
2．(2019·南宁、柳州联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；
(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2
a
≥4.
解：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ， 解得x ≥43，∴x ≥4
3
；
当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解； 当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ⇒x ≤－23，∴x ≤－2
3.
∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－2
3}．
(2)证法1：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3| ≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4.
又a 2b ＋b ≥2a ，b 2
a
＋a ≥2b ， ∴两式相加得(a 2b ＋b )＋(b 2
a ＋a )≥2a ＋2
b ，
∴a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 证法2：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|
≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，
由柯西不等式得(a 2b ＋b 2a )(b ＋a )≥(a ＋b )2
，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2a a
，即a
＝b ＝2时等号成立．
3．(2019·贵阳市监测考试)已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2
－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同．
(1)求m －n ；
(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值． 解：(1)当x ≤0时，不等式的解集为空集； 当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是x 2
－mx ＋n ＝0的两根，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ＋n ＝0，
9－3m ＋n ＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝4，
n ＝3，∴m －n ＝1.
(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵
a 2＋
b 2
2
≥ab ，
b 2＋
c 2
2≥bc ，
a 2＋c 2
2≥ac ，
∴a 2
＋b 2
＋c 2
＝a 2＋b 22
＋
b 2＋
c 22
＋
a 2＋c 2
2
≥ab ＋bc ＋ac ＝1(当且仅当a ＝b ＝c ＝
3
3
时取等号)．
∴a 2＋b 2＋c 2
的最小值是1.
4．(2019·陕西质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；
(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2
＋1≥3t
＋3t .
解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ，x ≤－1，
2－x ，－1<x <12
，
3x ，x ≥1
2
，
∴f (x )≤3⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤－1，
－3x ≤3或⎩⎪⎨
⎪⎧
－1<x <12，
2－x ≤3
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12，
3x ≤3，
解得－1≤x ≤1，
即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．
(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．
t 2
＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2
＋t －3t
＝
t －3
t 2＋1t
，
∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2
＋1>0， ∴
t －3
t 2＋1
t
≥0，∴t 2
＋1≥3t
＋3t .
5．(2019·广东中山二模)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥9
8
.
解：(1)根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＋3－x ≤6，
－1≤x <3
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＋
x －3≤6，
x ≥3，解得－1≤x ≤4，
故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}． (2)证明：函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，
分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2
a
＝8，
∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋2
2a
b ·2b a ＝9
8
，原不等式得证． 6．(2019·山西晋中二模)已知函数f (x )＝|x ＋1|.
(1)若∃x 0∈R ，使不等式f (x 0－2)－f (x 0－3)≥u 成立，求满足条件的实数u 的集合M ； (2)已知t 为集合M 中的最大正整数，若a >1，b >1，c >1，且(a －1)(b －1)(c －1)＝t ，求证：abc ≥8.
解：(1)由已知得f (x －2)－f (x －3)＝|x －1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－1，x ≤1，2x －3，1<x <2，
1，x ≥2，则－
1≤f (x )≤1，
由于∃x 0∈R ，使不等式|x 0－1|－|x 0－2|≥u 成立，所以u ≤1，即M ＝{u |u ≤1}． (2)证明：由(1)知t ＝1，则(a －1)(b －1)(c －1)＝1， 因为a >1，b >1，c >1，
所以a －1>0，b －1>0，c －1>0，
则a ＝(a －1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a ＝2时等号成立)，
b ＝(b －1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b ＝2时等号成立)，
c ＝(c －1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c ＝2时等号成立)，
则abc ≥8
a －1
b －1
c －1＝8(当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立)。