第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,2.1(a)321422m in x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,2.1(b)321365m ax x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 2.11线性规划问题213m ax x x Z += s.t ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？ （2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？ 解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。

2c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034313003532302423c c σσ 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤435622c c 所以：56432≤≤c 时可保持最优解不变。

（2）1b 的分析：要使得最优基保持不变，则需03405310-2103/43/53/1-3/21111≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-b b b b B 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥034050310-211b b ⎩⎨⎧≤≥⇒8511b b所以：851≤≤b 时可保持最优基不变。

2b 的分析：要使得最优基保持不变，则需034353-1473/43/53/1-3/22221≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-b b b b B 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥0343503-1422b b ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⇒4351412b b所以：144352≤≤b 时可保持最优基不变。

2、P92, 2.12 已知线性规划问题 3212m ax x x x Z +-=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++0,,42632121321x x x x x x x x 先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：(1)目标函数中变量321,,x x x 的系数在什么范围内变化，最优解不变？ (2)两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？ (3)增加一个新的约束2221≥+-x x ，寻找新的最优解。

解：化标准型：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++-=+++04265214321ix x x x x x x x已得最优解10,651==x x ，其余变量均为0. （1）1c 的分析：要使最优解不变，必须⎪⎩⎪⎨⎧≤-='≤-='≤--='000101141312c c c σσσ 11≥⇒c2c 的分析：要使最优解不变，必须0222≤-='c σ 22≤⇒c 3c 的分析：要使最优解不变，必须0233≤-='c σ 23≤⇒c（2））1b 的分析：要使得最优基不变，则需04411011111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-b b b b B 01≥⇒b2b 的分析：要使得最优基不变，则需06661101111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-b b b B 61-≥⇒b3、P92, 2.13 已知线性规划问题2123m ax x x Z +=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+≤+0,21-8262..212212121x x x x x x x x x t s试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数21,c c 在什么范围内变化，最优解不变？ （2）约束条件右端常数项43,b b 在什么范围内变化，最优基保持不变？ （3）增加变量7x ，其在目标中的系数T P C )2,3,2,1(,477==，重新确定最优解； （4）增加一个新的约束31≤x ，重新确定最优解。

解：（1）1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-⨯+='≤+⨯-='032231003123201413c c σσ ⎩⎨⎧≥≤⇒1411c c 411≤≤⇒c2c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+='≤+-='02c 31001c 3202423σσ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⇒6c 23c 22 6c 232≤≤⇒（2）3b 的分析：要使得最优基不变，则需0322310342861031320111003231003132331≥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-b b b B 23-≥⇒b4b 的分析：要使得最优基不变，则需343310341861031320111003231003132441≥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-b b b B 34b 4≥⇒（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=='-241023211031320111003231003132P 717B P增加变量7x 到最终表中，由于07>σ，故需继续迭代找到新的最优解，详见下表：所有的0≤j σ，故得新的最优解31,35,3437521====x x x x ，。

（4）由于原解不满足31≤x ，故不是可行解。

将新约束化为等式约束，即371=+x x由上表知新的最优解21,21,25,23376521=====x x x x x ，。

3、P94，2.16 某厂生产A 、B 、C 三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下（2） 产品A 的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？（3） 如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8h ，材料消耗为2kg ，每件获利30元，问该种产品是否值得生产？（4） 如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为1.8元/h ，问该厂要不要雇佣扩大生产？以雇佣多少为宜？解：(1)设A 、B 、C 三种产品各生产321,,x x x 件，建立模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=;0,,;30543;450536.401030max Z 321321321321x x x x x x x x x ts x x x 材料约束劳动力约束求解该模型，得最优解0,0,10321===x x x ，最大利润300元。

最终表如下：(2)设A 产品的利润为1c ，则要使得最优计划不变，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤-=.0310;03540;03410151312c c c σσσ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥⇒024215111c c c 241≥⇒c 即A 的利润高于24元时不需改变生产计划。

（3）设新产品D 生产6x 件，其资源消耗向量T P )2,8(6=，在最终表中的结果为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=='3/24283/1021B 61-6P P 其检验数为0103/24)30,0(306>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=σ，增加该产品的生产可以增加总利润。

(4) 因劳动力的影子价格（4x 的检验数）为0（<1.8），因而增加劳动力对利润无益，故不需要雇佣劳动力。

（或者：最优解情况下，劳动力只用了)450(60106<=⨯，并未全部用完，故增加劳动力无益于利润的增加。

）。