第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答

3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。

解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。

（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。

（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。

（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。

（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。

平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。

（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。

除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。

3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？

题3.1图 解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是0NEF。列平衡方程：

0Fm，041WP，

解得kN)(601544WP

所以，当kN60P时，才能使料斗在满载时不致翻倒。

3-3梁AB用三根杆支承，如图示。已知kN301F，kN402F，mkN30M，kN/m20q。试求三杆的约束力。

(a) 解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程

0xF，060cos60cos1FFC，

kN301FFC

,0Bm 05.134860sin360sin821qFFFMFCA,

kN22.63AF.

,0yF 0360sin60sin21qFFFFFBCA,

kN7488.BF.

（b）解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程

0xF， 030cos45cos45cos2FFFBD，

,0Cm ,0630sin2845sin445sin21FFMFFBD 解得：kN4.57kN,42.8DBFF；

,0yF

030sin45sin45sin21FFFFFCBD，

解得：kN45.3CF。

3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a）mkN8M，kN/m4q；（b）mkN40M，kN/m10q。

(a) 解：（1）先取BC梁为对象，画受力图，列平衡方程

0Bm，0364qFC，

kN18CF；

题3．2图

题3-3图

题3-3图

题3-4图 ,0yF 06qFFCBy，

kN6ByF

0xF，kN0BxF

（2）再取AB梁为对象，画受力图，列平衡方程

0xF， 0BxAxFF，

kN0BxAxFF

,0yF 0ByAyFF， kN6AyF;

0Am, 04ByAFMm, mkN32Am.

(b) 解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0Cm, 0124MqFD,

kN12DF;

,0yF 02qFFDCy,

kN4CyF

0xF，kN0CxF

（2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0Bm, 02122CyAyFqF,

kN0AyF.

,0yF 02CyBAyFqFF

kN4BF.

0xF, 0CxAxFF

kN0AxF.

3-5梁的支承及载荷如图示。已知：qaF，2qaM。试求支座的约束力。

（a）解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0Cm，0212MqaaFD，

qaFD23。

0xF，0CxF。

,0yF 0qaFFFDCy

qaFCy21。

2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0Bm，0212qaaFaFCyAy，

qaFAy。

0xF，0CxAxFF，0AxF。 题3-4图

题3-5图 ,0yF 0qaFFFCyBAy，

qaFB25。

（b）解：（1）取BC梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B点处的载荷集度为q/2。列平衡方程:

0xF， 0BxF

0Bm，

02322221222122aaqaqaFC，

qaFC65。

,0yF 021223aqFFCBy，

qaFBy32

（2）取AB梁为对象，画受力图。列平衡方程:

0xF，0BxAxFF，

0BxAxFF.

0Am， 023222212aaqaFMByA,

22qaMA.

,0yF02221aqFFByAy，

qaFAy67.

3-6 图示构架中，重物W重1200 N，由细绳跨过滑轮E而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座A和B处的约束力，以及杆BC的内力。

解：（1）以整体为研究对象，显然WFT。

列平衡方程：

0xF，0TAxFF，

N1200WFFTAx。

0Am，

0)5.1()2(4rFrWFTB ，N1050875.0WFB

,0yF 0WFFBAy， N150125.0WFAy。

（2）以AB杆为研究对象。列平衡方程：

0Dm， 02sin22BABAyFFF，

其中5325.15.1sin22。解得N1500BAF。

题3-5图

题3-6图 3-7一凳子由杆AB、BC和AD铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力F如图示。求铰链E处的约束力。

解：（1）取整体为研究对象。

0Am，03FaaFND，

FFND31；

（2）取AB杆为研究对象。

0Bm，023aFaFAy，

FFAy32

（3）取AD杆为研究对象。

,0yF 0NDEyAyFFF，

FFEy31。

0Am， 032323aFaFaFNDEyEx，

FFEx.

3-8 图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮以及绳索组成，H、G和E处为铰链，固结在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑槽内。已知物块M重P和水平力Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A和C以及杆EF上销钉K的约束力。

解：（1）取整体为研究对象，

0Am，

0364aPaQaFCy，

PQFCy243；

,0yF 0PFFCyAy，

PQFAy7641；

,0xF 0QFFCxAx。

（2）取EF杆连同轮为研究对象，显然PFT。

0Hm，

03245sinaFaPaFTNK，

PFNK2.

（3）取CD杆为研究对象，

0Gm，

02244aFaFaFNKCyCx， PQFCx641；

代入上面（1）中第3式，解得：

PQFAx241。

题3-7图

AB杆受力图 AD杆受力图

题3-8图 受力图（1）

受力图（2） 受力图（3） 3-9 滑轮B与折杆AB和BC用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力P=500 N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。

解：（1）取轮（不包括销钉）为对象，

0Bm，0rPrFT，

PFT；

,0yF0TByFF， PFFTBy；

,0xF 0PFBx， PFBx；

轮对销钉的作用力是ByBxFF,的反作用力。

（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB和BC都是二力杆，列平衡方程：

0xF，0sincosPFFBCBA，

0yF，0cossinTBCBAFFF，

其中，53cos,54sin。解得71,55BABCFPFP。

将数据代入，得：

500N,100N,700NBxByBCBAFFFF。

3-10 由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20 kN,

q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求A和G处的约束力以及杆BE和CE的内力。

解：（1）取整体为研究对象，

0Gm，

022aqaaFMaFAx，

kN702qaFaMFAx

0xF，0FFFGxAx，

kN50GxF ；

0yF，02qaFFGyAy。

（2）取GE杆为研究对象，

0xF，045sinECGxFF，

kN250ECF

0Em，0MaFGy，

kN10GyF；

将此代入（1）中第3式，得

kN30AyF。

0yF，045cosECEBGyFFF，

kN)(40EBF

题3-9图 受力图（1）

受力图（2）

题3-10图 受力图（1）

受力图（2）