西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码：818 科目名称：高等代数
一 （20分）计算行列式：
000000000000n D αβαβαβαβαβ00
αβαβαβ+++=++K K K M M M O M M K K
二 （20分）已知，是线性方程组
12(0,1,0),(3,2,2)T αα==−T 112312312321
34x x x x x x ax bx cx d
−+=−⎧⎪
++=⎨⎪
++=⎩ 的两个解，求此方程组的全部解．
三 （20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的：
222
123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++
四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=−==，A 的属于特征值-1的特征向量，矩阵1(0,1,1)T ξ=32B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵（下同），问：
（1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量； （2） 求矩阵B ．
五（15分）设，
1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ⎧⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥=∈=⎨⎬⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎫⎪
∈⎬⎪⎭
22（1） 求；
1W W +（2） 记，试求空间使得1W W W =+3W 33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域
上3阶矩阵全体），并说明理由．
六（15分）设向量组12,,,r ααK α线性无关，而12,,,,,r αααβK γ线性相关．证明：
要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααK α线性表出，要么12,,,,r αααK β与
12,,,,r αααK γ等价．
七（15分）设A 为阶常数矩阵，(1n n ×+)X 为(1)n n +×阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =．
八（10）若12,αα是数域上的二维线性空间的基，F 2()V F σ和τ是上的线性变换，且满足
2()V F 11221212121,,(),()2σαβσαβτααββτααββ==+=+−=−
试证：στ=．
九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =−．证明
()r A B n +<．
十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组
2()0i E A X λ−=()0i E A X 与=
λ−是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =K ．
2010年西安交大高等代数考研真题
1. 从1，2，3，… ，n 选出的全排列共有多少逆序？
2. 有分块矩阵， 已知A, B,C,D 均为n 阶方阵，且A B C D ⎛⎞⎜⎝⎠
⎟1
A −存在，求分块矩阵的逆。

3. 已知
12(,,...,)0n a a a α=≠，（均为实数）求证齐次线性方程组
只有零解。

12,,...,n a a a ()T I X αα+0=4. 已知一个实对称矩阵A ，其特征根
1236,3λλλ===且16λ=对应的特征向量
，求满足上述条件的对称矩阵1(1,1,1)T p =A 。

5. 已知3x R ∈,做变换()T
T x x αα=，求
（1） 证明上述变换T 为线性变换。

（2） 求在自然基下的矩阵。

(1,2,3)T
α=123(,,)e e e 6. 已知1212(,,...,)(,,...,)s n A βββααα=，其中
12,,...,n ααα线性无关，证明
12(,,...,)s L βββ的维数等于矩阵A 的秩。

7. 已知方阵A 满足，其中Det ，其中表示A 的行列式。

2T
AA I =A 1≥DetA 8. 已知n 阶方阵A 与n 阶方阵无公共的特征根，求Ax=xB 只有零解。

9. 已知B 为n 阶正定矩阵，A 为n 阶矩阵且秩A=r ，证明分块矩阵0T B A A ⎛⎞
⎜
⎝⎠
⎟的秩为n+r 。