识，有一种更上层楼的感觉。本科段学习的“泛函分析”内容 是 其 基 础 究生时几次尝试理清这一定理的证明思路都失败了，后 来 在 山 东 大 学
与核心的内容，这些内容在数学系其它课程和其它学科中都有着广泛 读博士时跟孙经先教授当面请教时，孙经先教授用了几条线段勾画的
而深刻的渗透．例如，微分几何中切空间的概念与泛函分析中对偶空间 简单图形使笔者很容易地理解了其证明思路．孙经先教授在非线性泛
意义，增加学习泛函分析的兴趣．另一方面，也培养了学生论文写作的 技巧和能力，对于下学期论文写作也很有益处．再例如，学过压缩映射 原理后， 课下可以对于目前学术界仍在研究的各种常微分方程加以介
于一些相关概念和理论的简单介绍。
绍，引导学生如何引人条件去探讨这些方程解的存在唯一性，这样的结
２．改进教学方法， 提高课堂教学效率
习的主动性和自主性，不利于学生自学能力的培养，而现代社会知识更 也应当是教师和学生之间科研的比例要求。
新的速度越来越快， 自学能力益发显得重要。因此，应当结合教学内容，
总之，要在减少教学时数的条件下，改进教学方法，提高泛函分析
改进教学模式，努力培养学生的自学能力。在每节课后，可以针对下一 教学效果，精选教材，优化内容是其前提，采取好的教学方法，提高课堂
的《实变函 数 与 泛 函 分 析 基 础 》以 精 简 的 形 式 介 绍 了 泛 函 分 析 的 核 心
德国著名教育家 Ｈ．Ｓｐｅｎｃｅｒ 指出：“什么是 好 的 教 育？ 那 就 是 系 统
内容，包括度量空间、Ｂａｒｕｃｈ 空间、Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间等空间以及线性算子与 线性泛函的基础概念与重要定理。对于算子的谱理论，该书只介绍了 较 为 易 懂 的 全 连 续 自 伴 算 子 的 谱 理 论 。该 书 注 重 师 范 性 与 泛 函 分 析 科
【参 考 文 献 】
化 学 中 都 有 着 深 刻 的 应 用 。讲 授 泛 函 分 析 时，既 要 联 系 数 学 分 析 、实 变 函数、复变函数、微分方程中的相关问题，使学生了解泛函分 析 中 所 述 定义定理的“来龙”，同时也要联系物理化学与应用数学中 不 太 复 杂 的 一 些 应 用，讲 清 定 理 定 义 的 “去 脉 ”。 这 对 于 启 发 学 生 的 学 习 兴 趣 ， 调 动 学生的学习积极性，增强学生学习动力很有益处。例如讲列紧集的概 念 时，先 介 绍 刻 画 实 数 完 备 性 的 Ｂｏｌｚａｎｏ－ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 定 理，再 去 考 虑 Ｃ ［０，ｌ］中单位球 Ｓ（０，０） 容易 构 造 Ｓ（０，１） 中 点 列 其 为 有 界 列 但 却 没 有 任 何
地给学 生 自 己 发 现 事 物 的 机 会．”在 泛 函 分 析 的 教 学 中，结 合 课 堂 教 学 内容，引导 学 生 将 所 学 理 论 应 用 于 其 他 课 程 中，特 别 是 古 典 分 析 、数 学 建模中， 这会使学生增强独立思考的勇气和信心， 培养学生的创新能
学体系的统一性，是目前师范院校广泛采用的“泛函分析”教 材 。 选 取 力．例 如，在 讲 过 变 分 原 理 后，可 以 引 导 学 生 去 探 讨 一 些 实 际 的 最 优 化
理解所学内容，然后做习题得到应用．这种过程从表面上看使得每个学 小论文，探讨其相互关系．要想更好地指导学生开展科研活动，作为教
生在短时间内获得了大量的知识，提高了教学效率。但从本质上看，这 师自身更应积极开展 科研学术活动．人们常拿“一桶水”和“一滴 水 ”来
种教与学的过程，完全将每个学生看作是被动的接受器，忽视了学生学 比喻教师和学生之间知识的比例要求，而“一桶水”和“一滴水 ”的 比 例
合适的教材后，还应当优化教学内容，更好地达到教学目的．优化教学 问题，写成论文．这可以使学生从中体会变分原理在应用中的重要理论
内容也是个教材分析与学习研究的过程。在这一过程中，明确哪些内 容要讲，哪些不讲，哪些精讲，哪些略讲，哪些作为重点，哪些是难点。在 课时少的情况下，优化教学内容就显得更为重要。谱论知识应当仅限
科技信息
○高校讲坛○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年 第 １３ 期
浅谈“泛函分析”教学方法
聂兴伟 （ 许昌学院数学教育专业 河南 许昌 ４６１０００）
【摘 要】在教学课时数减少的条件下，精选教材，优化内容是提高泛函分析教学效果的前提，采取好的教学方法， 提高课堂教学效率是关键， 结合教学，培养学生的创新意识和能力是符合国家对大学生培养总体要求的。
的 一 些 主 要 结 果 是 经 典 分 析 的 继 续 、发 展 、深 化 和 推 广．学 习 “泛 函 分 函方 法 》第 １３４ 页 有 一 个 三 解 定 理，是 孙 经 先 教 授 所 发 现 的，这 一 定 理
析”后往往会对数学分析和实变函数论中一些结果产生更为深刻的认 的证明很繁杂，初学者很难快速理解定理证明的思路，笔者在读硕士研
果虽然不会有很好的学术价值，但对于学生来讲也是极有意义的．泛函
传统上不少高校泛函分析的教学往往同其他课程一样，上每一节 分析同其他数学系的课程以及其他学科都有密切联系，其内部理论体
Hale Waihona Puke 课，总是教师一边讲授，学生一边听课、记笔记，课下学生看笔 记 并 消 化 系也是一个有机整体．对于这些联系，教师可以引导学生写成总结性的
位 ．任 何 忽 视 和 取 消 “泛 函 分 析 ”教 学 的 做 法 都 是 错 误 的 。
形代替，这虽不准确也能很好的说明问题，并且这要比空间中的模型简
１ ． 选 准 教 材 、优 化 教 材 内 容
单 许 多，提 高 了 讲 授 效 率．例 如，可 以 用 平 面 上 的 点 列 代 表 Ｂａｍｃｈ 空 间
节所学内容，设定一些恰当的问题，引导学生对将要学习的内容提前进 教学效率是其关键，结合教学培养学生的创新意识和能力是符合国家
行预习。
对 大 学 生 培 养 总 体 要 求 的 。科
“泛函分析”是现代分析的主要组成部分，被誉为二 十 世 纪 的 分 析
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学，但它同古典分析有着极为深刻和广泛的联系，在其他学科包括物理
目前随着教育部教学评估工作的影响，各个高校 的 教 学 科 研 活 动 中的点列，用平面上的开圆代表 Ｅｂａｃｈ 空间中的开球等。
得到了广泛展．一些大学组织有着丰富教学经验的专家教授编写了许
４．结合课堂教学，积极开展科研活动，培养学生的创新意识
多套“泛函分析”教材。这些教材各有其特色。华东师大程其襄等编著 和能力
子列收敛。这便会使学生认识到，虽然 Ｒ 与 Ｃ［０，１］都完备，但在某种 其
［ 责任编辑： 田瑞鑫］
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泛 函 分 析 是 一 门 综 合 了 代 数 、几 何 等 知 识 于 一 体，高 度 抽 象 的 一
数 、拓 扑 学 合 称 为 “新 三 基 ”。
门课程，很 多 概 念 、定 理 很 难 找 到 准 确 的 直 观 模 型，但 由 于 泛 函 分 析 的
由此可见，“泛函分析”教学在高校数学专业教学中 具 有 重 要 的 地 许多结论都是来源于古典分析，因此在许多情况下，我们以平面上的情
［ １］ ＩＪ 在其襄，依莫宙等．笑吏 ｄＥＺＴ 与泛层分开若 ＥｊＩＺＦＪ 高等教育出版社． ［ ２］ 游兆永．简明泛函分析．西安：西安交通大学出版社． ［ ３］ 董立华．王子华．连秀国．关于“泛函分析”教学的再探讨．高等数学研究．２００５．８ （ｌ）． ［ ４］ 定光桂．关于《泛函分析》课程教学改革的探讨．高等理论教育．２００ｌ（３）． ［ ５］ 匡继昌．“实变与泛函”教材与教法改革的研究与实践．数学教育学报．２００１．１０ （２）．
【关键词】泛函分析； 教学方法； 创新意识
０．前言
它 性 质 上 是 不 一 样 的 。于 是 可 以 自 然 而 然 地 引 入 列 紧 集 的 概 念 。再 如
“泛函分析”是现代分析数学的重要组成部分，它的 内 容 就 实 质 而 讲了 Ｂａｒｍｅｔ１ 压缩映射原理以后， 去考虑这一定理在常微分方程中微
言，包括三部分：一是关于既具有代数结构又具有几何结构的各种空间 分初值问题解的局部存在唯一性证明中的应用。
的理论，包括线性赋范空间、Ｂａｒｕｃｈ 空间、Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间等；二是建立在这
３．充分利用直观形象的教学手段，变抽象为直观，变难为易
些空间上的特殊 映 射 一 一 各 种 线 性 算 子 的 理 论（包 括 线 性 泛 函 〉；三 是
的概念有着密切的联系，现代数学物理方程中的各种函数空间都是一 函分析领域的研究中做出了许多极有价值的研究成果，不少这些成果
些特殊的 Ｂａｒｍｅｔ１ 空间和 Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间等．区别于以往所称的“三基”（数 都是在其深刻洞察力和特定直观模型的启发下做出的。
学 分 析 、高 等 代 数 、解 析 几 何 ） ，人 们 常 把 实 分 析 与 泛 函 分 析 、抽 象 代
对 于 抽 象 的 理 论 、定 义，如 果 能 够 用 直 观 的 图 象 予 以 图 示，可 使 人
作为二者与其它学科相互联系的应用．三者有机地结合在一起．时至今 更深刻的理解其意义，把握其思想方法，迅速地理解掌握．笔者对此有
日，泛函分析已成为内容丰富．方法系统、应用广泛的学科．“泛函分析” 着 深 刻 体 会，在 郭 大 钧 、孙 经 先 、刘 兆 理 所 著 的 《非 线 性 常 微 分 方 程 泛