0.036
13
0.036
1.2～1.4
6
0.017
5
0.014
1.4～1.6
4
0.011
2
0.006
1.6以上
0
0.000
0
0.000
总和
181
0.505
177
0.495
§6-1 概述
五、偶然误差的特性及其概率密度函数
❖ 偶然误差的四个特性：
（1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；
§6-1 概述
❖ 三、测量误差及其来源 1．测量误差的定义
真值：客观存在的值“X”（通常不知道） 真误差：真值与观测值之差，即：真误差=真值-观测值
2．测量误差的反映
测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。
3．测量误差的来源
（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。
……
……
❖ 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
§6-1 概述
四、测量误差的种类 2．偶然误差
❖ 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的 出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定， 表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。
❖ 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观 测值产生误差 。
§6-1 概述
四、测量误差的种类
按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为
系统误差和偶然误差两类。
1．系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大
小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统 误差。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
❖ 用频率直方图表示的偶然误差统计： ❖ 当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小
(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲 线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。
§6-1 概述
❖ 五、偶然误差的特性及其概率密度函数
❖ 偶然误差处理方式
（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会大；
（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；
（4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶
然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，
即 li m 1 2 n li m 0
n
n
n n
§6-1 概述
❖ 五、偶然误差的特性及其概率密度函数
§6-1 概述
一、测量误差的概念
人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这 种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测 量误差。
二、观测与观测值的分类 1．同精度观测和不同精度观测
在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用 相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水 平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度 观测值或等精度观测值。反之，则称为不同精度观测，其观 测值称为不同（不等）精度观测值。
知量进行了n次观测，其观测值分别为 l1 、l、2 l，n n个观测值
的真误差
1、
2、
。为了避免正负误差相抵消和明显地反
知量进行了n次观测，其观测值分别为
l1
、l 2、
l
，n个观测值
nห้องสมุดไป่ตู้
的真误差 1 、 2、 n。为了避免正负误差相抵消和明显地反
映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和
的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即
§6-2 衡量精度的指标
二、中误差
某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未
(1)提高仪器等级 （ 2）多余观测 （ 3）求算术平均值 靠（ 值最 ，可 似真值， 值最 ）或
§6-2 衡量精度的指标
一、精度
❖ 精确度是准确度与精密度的总称。
❖ 对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值， 用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。
二、中误差
某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未
❖ 用频率直方图表示的偶然误差统计： ❖ 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区
间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 ❖ 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称
于y轴。 ❖ 各条形顶边中点连线经光滑后
的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。
§6-1 概述
❖ 五、偶然误差的特性及其概率密度函数
§6-1 概述
四、测量误差的种类 几个概念:
✓ 准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大 小）
✓ 精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差 的大小）
✓ 最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）； ✓ 测量平差：（求解最或是值并评定精度）。
§6-1 概述
五、偶然误差的特性及其概率密度函数
例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观 测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个 内角观测值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次
观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。
❖ 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈 现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越 明显。
§6-1 概述
误差区间 d 个数
负误差 相对个数 个数
正误差 相对个数
0.0～0.2
45
0.126
46
0.128
0.2～0.4
40
0.112
41
0.115
0.4～0.6
33
0.092
33
0.092
0.6～0.8
23
0.064
21
0.059
0.8～1.0
17
0.047
16
0.045
1.0～1.2
13
§6-1 概述
二、观测与观测值的分类 2．直接观测和间接观测
为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未 知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。通过被 观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观 测，观测值称为间接观测值。
3．独立观测和非独立观测
各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独 立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定 的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为 非独立观测值。