函数()f x 的定义域为D ，则其图像为：
()(){},|,x y y f x x D =∈
1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为：
()(){},|,x y y f x a x D =+∈
简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+
向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出
2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =-
简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出
需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。

3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =--
简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =--
4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ⎛⎫
⎪⎝⎭，
这点在()f x 图像上，所以x y f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
至于竖直方向的伸缩，请自己给出
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性
5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条，
()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x +=
6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的
7，如果一个函数有一个对称中心(),a b ，那么按照第3条，()22y b f a x =--与原函数是同一个函数，也就是说：()()22f x f a x b +-=，类似6，这个条件也可以作适当改写 8，出于好奇，我们来看看当()x f f x a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
时函数会如何，显然，它会成为常函数 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
另外一类常见的变换是关于绝对值的
9，把函数()f x 的图像在x 轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：
()y f x =，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行
10，把函数()f x 的图像在y 轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数：
()y f x =，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线再次路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 11，另外补充的是半周期，如果()()f x a f x +=-或者()()
1
f x a f x +=
，那么a 是半周期，证明是容易的，请自己给出。

另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。

一般的写法是()()f x a g f x +=⎡⎤⎣⎦，且()g g x x =⎡⎤⎣⎦
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线继续路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。

当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。

表格放在最后。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线坚持路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 例1：（第7届希望杯）
函数()f x 的值域1
(,4]4
，则()()g x f x =-的值域为
例2：（第5届希望杯）
定义为R 的函数()f x ，对任何,a b R ∈，都有[()]f af b ab =，= ．
例3：设()f x 是[0,1]上的不减函数，即对于1201x x ≤<≤有12()()f x f x ≤，且满足：（1）
(0)0f =；
（2）1
()()32
x f f x =；（3）(1)1()f x f x -=-，则1()2005f = ．
例4：（第4届希望杯）
设奇函数()y f x =的定义域为R ，(1)2f =，且对任意12,x x R ∈，都有
121()()f x x f x +=
+2()f x ，当0x >时，()f x 是增函数，则函数2()y f x =-在区间[3,2]--上的最大值是 ．
2．抽象函数的单调性 例5：（第14届希望杯）
奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，
2(6)(3)f f -+-=
例6：设()f x 是定义在R +
上的增函数，且()()()x
f x f f y y
=+，若(3)1f =，则
1
()()25
f x f x -≥-成立的x 的取值范围是 ．
3．抽象函数的奇偶性 例7：（第6届希望杯）
()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则
(1)(2)(3)f f
f f
++++=
A 、1或0
B 、1或1-
C 、0
D 、1
例8：（第4届希望杯）
函数()f x 的定义域是R ，函数()()2()g x f x f x =+--，已知(5)3
g =-，则(5)g -= ．
4．抽象函数的周期性 例9：（第12届希望杯）
定义在实数集上的函数
()f x ，满足1(1)
(1)1(1)
f x f x f x ++-=
-+，则
2000)2000().....3()2()1(+⋅⋅f f f f 的值为 ．
例10：（第12届希望杯）
定义在R 上的非常数函数，满足（1）(10)f x +为偶函数；（2）(5)(5)f x f x -=+，则()f x 一定是（ ）
A 、是偶函数，也是周期函数
B 、是偶函数，但不是周期函数
C 、是奇函数，也是周期函数
D 、是奇函数，但不是周期函数
补充练习题
1．函数()f x 是定义在R 上的实函数，它既关于5x =对称，又关于7x =对称，那么()f x 的周期是（ ） （A ）4
（B ）2
（C ）
2
π
（D ）π
2．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）
（A ）()()76f f > （B ）()()96f f > （C ）()()97f f > （D ）()()107f f > 3．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程
0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
（A ）0
（B ）1
（C ）3
（D ）5
4．定义在R 上的函数()y f x =，它具有下述性质：（1）对任何x R ∈，都有3
3
()()f x f x =；（2）对任何12,x x R ∈，12x x ≠，都有12()()f x f x ≠．则(0)(1)(1)f f f ++-的值为（ ） （A ）0
（B ）1 （C ）1- （D ）不确定
数学试卷 第4页共6页
5．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(1)()3f x f x ++=，当[0,1]x ∈时，
()2f x x =-，则(2005.5)f -= ．
6．（第5届希望杯）
函数()f x 是定义域为[1,1]-的奇函数，且为增函数，2(1)(1)0f a f a -+-<，则实数a 的取值范围是
7．定义在R 上的函数()f x ，恒有()()()f x y f x f y +=+．若(16)4f =，那么
(2003)f = ．
8．已知函数()y f x =的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足(2)(2)f x f x +=-． （1）证明：函数()y f x =的图像关于直线2x =对称；
（2）若()f x 又是偶函数，且[0,2]x ∈时，()21f x x =-，求[4,0]x ∈-时的()f x 的表达式
9．（2005年广东高考） 设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，
)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0,7]上，只有0)3()1(==f f ．
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．。