有理数及其运算复习讲义小书童教育连锁机构 初一升初二时间： 2014年 月 日 姓名有理数及其运算复习讲义一 【知识回顾】（一）、负数，有理数的分类1、负数的意义：上升1m 表示为-----，则下降2m 表示为------。

2、某品牌纯净水标着505±ml ”，则这瓶纯净水最多 ml ，最少 ml 。

3、0π⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩正整数整数有理数负整数分数（有限小数和循环小数属分数，但是无限不循环小数，不是分数）4、非负数即不是负数，包括0和正数。

5、因为a 可以表示正数、0和负数，所以a 不一定是正数，－a 不一定是负数。

（二）、数轴1、数轴的三要素： -------、原点和单位长度。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

最小的正整数是 ，最大的负整数是-----。

2、相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。

2和－2，a 和－a ，2x y z --和2x y z -++。

3、0的相反数等于它本身的数是0。

两个相反数相加等于0.4、x ＋y 的相反数是-----，a －b 的相反数是---5、（1）a>0时，－a<0； (2)a<0时，－a>0；(3)a ＝0时，－a=0.6、表示互为相反数的两个点位于原点的----，且到原点的 相等。

7、符号的化简：－（－2）＝---；－（＋2）＝---；－（x ＋y ）＝---.（三）、绝对值1、在数轴上，一个数a 所对应的点到原点的----叫做该数的绝对值。

记作：||a 。

任何数的绝对值一定 0，即：||0a ≥.⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数0负有理数2、(0)||(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数3、绝对值等于它的本身的数是 ；绝对值等于它的相反数的数是-----。

4、|x|=3,则x ＝ 。

5、两个负数，绝对值大的反而小。

452425()563030->-->-通分 6、绝对值化简：先判断绝对值号内的数的符号，再根据绝对值的代数意义来化简去绝对值号。

已知x<0,y>0,化简|x-y|+|x|+|y|= .（四）、有理数的加、减法1、有理数的加法法则：(1) (5)(6)(56)11-+-=-+=-（2）5(3)(53)2-++=--=-（3）5(5)0-++=，即互为相反数两数相加等于0.（4）一个数与零相加，仍得这个数。

0(6)6+-=-2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

()a b a b -=+-，()a b a b --=+3、有理数加法的运算律：交换律a b b a +=+、结合律()()a b c a b c ++=++4、去括号法则：去掉-（），括号里的数要变号。

如()a b c d a b c d --+=-+- （五）、有理数的乘、除法1、多个有理数相乘，积的符号由 来决定，偶数个负数相乘，结果得正；奇数个负数相乘，结果得负。

如2(1)1n -=，21(1)1n +-=-2、乘法分配律：2()222a b c a b c --+-=-+3、互为倒数的两个数乘积为1.0除以任何数都得0。

（六）、有理数的乘方1、N 个相同的数a 的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做 。

记作n a ，其中，a 为底数，n 为 指数。

2、负数的偶次方得正，负数的奇次方得负。

如2(1)1n -=，21(1)1n +-=-3、分数、和负数的乘方要分清底数和指数，要明确区分有无括号的不同。

如22433-=-；224()39-=-；224()39-=； 4、平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 0。

（七）、有理数的混合运算原则：先算乘方，再算乘除，最后加减。

有括号时先算括号里面的数。

二．【例题剖析】例1.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中O 是原点，b =c ．（1）用“<”把a 、b 、－a 、－b 连接起来；（2）b ＋c 的值是多少？（3）判断a ＋b 与a ＋c 的符号．例2 计算： ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-----2452132324三．【知识点分类精讲】知识点1. 数怎么不够用了大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，218，5.2也可写作+3，+218，+5.2；零既不是正数，也不是负数。

【巩固练习】一、选择题1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）A. 0是整数B. 0是偶数C. 0是自然数D. 0既不是正数也不是负数2. –3.782： （ ）A. 是负数，不是分数B. 不是分数，是有理数C. 是分数，不是有理数D. 是分数，也是负数二、将下列各数填入相应的集合中。

71，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-218，180，-42，-45%，π，1。

整数：______________________ 自然数：___________________________正数：______________________ 负数： ___________________________偶数：______________________ 奇数： ___________________________分数：______________________ 非负数：___________________________非负整数： _________________ 非正分数：_________________________非负有理数：________________ 有理数： __________________________三、填空题1. 河道中的水位比正常水位低0.2m 记作-0.2m ，那么比正常水位高0.1m 记作________。

2. 一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m 处,鲨鱼所在的深度是________。

四、答下面的问题：1）将[少2千克]，用[多]表示出来； 2）不用负数表示[减少-7]。

知识点2. 数轴数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数【巩固练习】一、填空题1. 数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。

2. 数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是________个单位，这两个点的位置分别在________点右边和左边。

3. 在有理数中最大的负整数是________, 最小的正整数是________, 最大的非正数是________, 最小的非负数是________, 最大的非负数是________.4. 用“＞”或“＜”号填空：1）3.5 ____ 0 ; 2) ﹣2.8 ____ 0 ; 3) ﹣1.95 ____ 1.59 ;4)75 ____ 76- ;5) 31- ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ 32- ; 知识点3. 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。

【巩固练习】（1）填空题1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.3. 若1=b a , 则a 与b________; 若1-=ba , 则a 与b________; 若a+b=0, 则a 与b________.4. 在数轴上与－3距离4个单位的点表示的数是5.写出大于-4且小于3的所有整数为______________;6.求下列各数的相反数0.26 ；52-；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a －b 。

知识点4. 绝对值一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。

【巩固练习】一、选择题1. ﹣∣﹣3∣是 （ ）2. A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或02. 绝对值最小的整数是 （ ）3. A. 0 B. 1 C. –1 D. 1和-1二、填空题 1. 若a ＝213-, 则∣a ∣＝________; 若∣a ∣＝3, 则a ＝________.2. ﹣∣﹣324∣＝______; ∣﹣413∣－∣﹣321∣＝______; ∣﹣0.77∣÷∣+432∣＝_______;3. 绝对值小于4的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个三、解答题1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y ∣的值。

2. 已知 A ，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示3.5，求A ，B 两点间的距离。

3. 已知：∣a ＋2∣＋∣b －3∣=0，求2a 2－b ＋1的值。

知识点5 有理数的加减法【巩固练习】计算：1） ﹣31－21＋65－（43-）；2）﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）；3）)434000()321999()652000(-+---。

知识点6. 有理数的乘除法倒数：乘积是1的两数互为倒数，即a ·a 1=1（a ≠0），0没有倒数。

注意：倒数与相反数的区别【巩固练习】计算：1）（215-）×313； 2） 512-×1132÷（212-）；3）（12787431+-）÷)241(-； 4）)241(-÷（12787431+-） ；知识点7. 有理数的乘方乘方：求n 个相同因数的积的运算。

乘方的结果叫幂，a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都为0。

【巩固练习】1.计算：（-5）3； -53；2)43(-；432-；（-1）2001； )211(-3。