习题参考答案6-1 已知线性系统的微分方程如下，试用等倾线法绘制其相轨迹。

（1）023=++x x x （2）02=++x x x （3）02=+x x （4）02=-+x x x （5）13=+x x （6）1=x6-2 已知二阶非线性系统的微分方程如下，求其奇点并确定奇点类型。

（1）0)1(3=++-x x x x（2）0|)|1(=--+x x x x6-3 如图所示二阶系统，非线性部分输出M >1。

（1）输入0)(=t r 时，试用等倾线法做出变量x 的相平面图，分析极限环的形成情况。

（1）输入t t r =)(时，试用等倾线法做出变量x 的相平面图，并与（1）对比。

题6-3图解：由图列出系统变量的方程：⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<->=a x M a x a a x M u ,,0,y r x -=u y y=+ 得到变量x 的方程：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<<-+>-+=+a x M rr a x a rr a x M r r x x ,,, （1）0)(=t r 时，变量x 的方程：III ,,II ,,I ,,a x M x xa x a x x a x M x x -<+-=<<--=>--= 在I 区，等倾线方程为xM /1--=α。

当M x -= 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线M x-= 并趋向无穷远处。

在II 区，等倾线方程为1-=α，即一簇平行线。

在III 区，等倾线方程为xM /1+-=α。

当M x = 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线M x= 并趋向无穷远处。

当a = 0时，不存在II 区，可形成极限环。

（2）t t r =)(时，变量x 的方程：III ,,1II ,,1I ,,1a x M x xa x a x x a x M x x -<++-=<<-+-=>+--= 在I 区，等倾线方程为xM /)1(1-+-=α。

当M x -=1 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线M x-=1 并趋向无穷远处。

在II 区，等倾线方程为x/11+-=α。

当1=x 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线1=x并趋向无穷远处。

在III 区，等倾线方程为xM /)1(1++-=α。

当M x +=1 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线M x+=1 并趋向无穷远处。

可见相轨迹形成一个稳定的极限环。

x（1）（2）6-4 如图所示二阶系统，非线性部分k>1，输入0)(=t r 。

试用等倾线法做出变量x 的相平面图，分析极限环的形成情况。

题6-4图解：由图列出系统变量的方程：y Ts x )1(--=，u s s y )1(1+=即u ss Tsx +--=21。

再由 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<->=a x ka a x a kx a x ka u ,,,得到变量x 的微分方程：III,,II ,,I ,,a x ka x x a x a kT kx x x a x ka x x -<+-=<<----=>--= 在I 区，等倾线方程为xka /1--=α。

当ka x -= 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线ka x-= 并趋向无穷远处。

在III 区，等倾线方程为xka /1+-=α。

当ka x = 时0=α，当0=x时∞=α，当±∞→x 时1-=α，因此相轨迹汇合到水平线ka x= 并趋向无穷远处。

在II 区，作变量替换T x z +=，系统方程变为0=++kz z z。

奇点z ＝0（x ＝－T ）是稳定的焦点。

x当T <a 时，I 区和III 区的相轨迹进入II 区，最后收敛到奇点x ＝－T ，此时系统稳定。

当T >a 时，I 区和III 区的相轨迹进入II 区，但是II 区的奇点x＝－T 在I 区，因此相轨迹将在I 区和II 区循环，形成极限环。

6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M =4.7。

（1）如果继电器特性的a =0，求系统的自持振荡周期和振幅。

（2）a 为何值时，系统无自持振荡？题6-5图解： 设正弦输入信号的幅值为A 。

死区继电器特性描述函数为：)()(14)(2a A AaA M A N ≥-=π其负倒描述函数为实数。

系统频率特性)()(1)()()()(i ωP A N i ωP A N i ωR i ωY +=，产生自持振荡的条件是0)()(1=+ωi P A N ，即)(/1)(A N i P -=ω。

因此分析系统自持振荡就是确定)(ωi P 和)(/1A N -的交点。

线性部分的频率特性为)321(1)12)(1(1)(2ωωωωωωωi i i i i i P +-=++=画出其Nyquist 图。

当0212=-ω，即2/2=ω时，)(ωi P 与实轴相交，交点为3/2)2/2(-=i P 。

（1）a =0时，当A 从+∞→0变化时，)(/1A N -从-∞→0。

2/2=ω时，)(ωi P 与)(/1A N -相交，交点为实轴的－2/3，即234)(==A M A N π，得到0.414.337.442=⨯⨯⨯=A 。

因此自持振荡周期89.822/2===πωπT ，振幅0.4=A 。

（2）a >0时，当A 从+∞→0变化时，)(/1A N -从-∞→∞-，其中a A 2=时达到最大值Ma2π-。

如果322-<-M aπ，则)(ωi P 和)(/1A N -不相交。

因此0.234=>πMa 时，系统无自持振荡。

6-6已知非线性系统结构图如图所示，其中M ＝h ＝1，)3()(1+=s s K s G ，15)(2+=s s G 。

当K 取何值时，系统会产生自振？题6-6图解：输入为正弦信号时，非线性元件的描述函数与频率无关，可以看作常数。

由梅森公式写出闭环系统的传递函数为)()()()(1)()()(2111s G s G A N s G s G s R s Y ++= 闭环系统特征方程为0)()()()(1211=++s G s G A N s G ，即)(1)(1)()(121A N s G s G s G -=+由Nyquist 判据可知，当)(1)()()(121s G s G s G s G +=在右半s 平面没有零极点时，要使系统稳定，要求)(ωi G 曲线与)(1A N -不相交。

两位置滞环继电器特性的描述函数222224144)(14)(A iA A A Mh i A h A M A N ππππ--=--=负倒描述函数为414)(12ππiA A N ---=-再由K s K s s Ks s K s s s K s G s G s G s G ++++=+++⋅+=+=)3(45)3(115)3()(1)()()(23121将s i ω=代入得到325()[(3)](4)KG j i K K ωωωω=+-+- 作出s 平面图如下。

下面计算()G i ω曲线与虚轴的交点。

令()G i ω实部为0，即042=-ωK，得到2/K =ω。

此时()4(3)123G j i iK K K ω==-=-+-+就是()G i ω曲线与虚轴的交点。

当0=K 时，交点为0；当+∞=K 时，交点也为0。

因此当K 由+∞→0变化时，交点由0向虚轴负无穷方向移动，达到最大值后又向0移动。

当交点位于虚轴)0,4(π-时，()G i ω曲线与)(1A N -不相交，系统稳定。

临界的K 值满足431240π=+K K即0121603=+-ππK K0498.16=+-K K解得250.1698.1624420.28898.16±=⨯-±=K即20.2801=K ，058.02=K根据前面分析，当20.280058.0<<K 时，系统产生自振，频率2/K =ω。

6-7已知非线性系统结构图如图所示，)3()(1+=s s Ks G ，15)(2+=s s G 。

当K 取何值时，系统会产生自振？题6-7图解：前面已经得到325()[(3)](4)KG i i K K ωωωω=+-+-饱和非线性特性的描述函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2)(1arcsin 2)(A a A a A a k A N π 当A ＝a 时取最小值k ，作出G (i ω)平面图如下。

下面计算()G i ω曲线与负实轴的交点。

令()G i ω虚部为0，即0)3(3=-+ωωK ，得到K +=3ω。

此时55()4(3)123K KG i K K Kω==--++当0=K 时，交点为0；当+∞=K 时，交点为－5/3。

因此当K 由+∞→0变化时，交点由0向－5/3移动。

当交点位于实轴)0,1(-时，()G i ω曲线与)(1A N -不相交。

临界点的K 值满足13125-=+-KK解出K ＝6。

根据前面分析，当K>6时，系统产生自振。

6-8 已知非线性速度反馈系统如图所示。

利用MA TLAB 的辅助，求系统单位阶跃响应的解析表达式。

题6-8图解：系统的闭环传递函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=5.0)(,1215.0)(,11)()(22t y s s t y s s s R s Y （1）当5.0)(≤t y 时，系统为欠阻尼系统（1,5.0==n ωζ），单位阶跃响应为20.5()1)arccos ]1 1.15sin[0.75/3]n tn t y t t e t ζωζωζπ--=-+=-+借助MATLAB 可知当t ＝1.294时5.0)(=t y 。

此时 0.50.5()0.575sin[0.75/3]0.863cos[0.75/3]0.467t t dy t e t e t dtππ--=+-+= （2）当5.0)(>t y ，即t >t 0＝1.294时，系统微分方程为u y y y=++ 2 作拉普拉斯变换得到)()()(2)(2)()()(0002s U s Y t y s sY t yt sy s Y s =+-+-- 12)()1(967.015.012)(12467.15.012)(121467.05.012)(12)(2)()()(22222222000++++++=++++++=+++++++=+++++++=s s s U s s s s s U s s s s s s U s s s s s s U s s t y t y t sy s Y得到系统响应)294.1()294.1()294.1()294.1(1)457.0033.0(1)294.11(1)294.1(967.05.0)]([)(---------+-=-+-+-+==t t t t e t e t e t e s Y L t y 总之，系统单位阶跃响应为⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=---294.1,)457.0033.0(1294.1],3/75.0sin[15.11)()294.1(5.0t et t t e t y t t π。