福建2020九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形|夯实基础|1.下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2.下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次4.如图K30-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()图K30-1A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5.如图K30-2,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为()图K30-2A.60°B.67.5°C.75°D.54°6.如图K30-3,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()A.B.C.-1D.7.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图K30-4),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD= .(结果保留根号)图K30-48.如图K30-5,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.图K30-59.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.10.如图K30-6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.图K30-611.如图K30-7,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM 与BD相交于点F.求证:OE=OF.12.如图K30-8,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.(1)求证:△ADG≌△DCE;(2)连接BF,求证:AB=FB.图K30-8|能力提升|13.如图K30-9,在正方形ABCD中,AB=4.若以CD为底边向其形外作等腰直角三角形DCE,连接BE,则BE的长为()图K30-9A.4B.2C.2D.214.如图K30-10,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N 分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .图K30-10|思维拓展|15.如图K30-11,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为.图K30-1116.已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部,点P到边AD,AB的距离分别为m,n.(1)以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图K30-12①所示,当点P在对角线AC上,且m=时,求点P的坐标.(2)如图②,当m,n满足什么条件时,点P在△DAB的内部?请说明理由.图K30-12参考答案1.B2.B[解析]A.▱ABCD中,若∠ABC=90°,则▱ABCD是矩形,再由AB=AD可得是正方形,故此选项错误;B.▱ABCD中,若AB=BC,则▱ABCD是菱形,再由AC⊥BD仍可得是菱形,不能判定为正方形,故此选项正确;C.▱ABCD中,若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,再由AC=BD可得是正方形,故此选项错误;D.▱ABCD中,若AC=BD,则▱ABCD是矩形,再由AB=BC可得是正方形,故此选项错误.故选B.3.B4.C[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,∴EF=GH=AB,EH=FG=CD,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形,故选C.5.A[解析]连接BF,∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵四边形ABCD为正方形,∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6.C[解析]连接EF.∵AE=AF,∠EAF=60°,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠D=∠C=90°,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴EC=CF.设CF=x,则EC=x,AE=EF==x,BE=1-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,∴1+(1-x)2=(x)2,解得x=-1(舍负).故选C.7.-1[解析]∵四边形ABCD为正方形,∴CD=1,∠CDA=90°,∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置,使得点D落在对角线CF上, ∴CF=,∠CFE=45°,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF-CD=-1.故答案为-1.8.8[解析]∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,又∠CAE+∠ECA=90°,∴∠ECA=∠BAF,则在△ACE和△FAB中,∵∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4,∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8. 9.30°或150°[解析]如图①,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°.∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°.∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.10.8[解析]如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF,∵AC=BD=8,OE=OF==2,∴由勾股定理得:DE===2,∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8,故答案为:8.11.证明:在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴∠AOF=∠BOE=90°.∵AM⊥BE,∴∠AME=90°,∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°,∴∠FAO=∠EBO.在正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=BD,∴OA=OB,∴△AOF≌△BOE(ASA),∴OE=OF.12.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,又∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF,∴∠DAG=∠CDE,∴△ADG≌△DCE(ASA).(2)如图,延长DE交AB的延长线于H,∵E是BC的中点,∴BE=CE.又∵∠C=∠HBE=90°,∠DEC=∠HEB,∴△DCE≌△HBE(ASA),∴BH=DC=AB,即B是AH的中点.又∵∠AFH=90°,∴Rt△AFH中,BF=AH=AB.13.C[解析]如图,连接BD,因为四边形ABCD为正方形,所以∠BDC=45°,AD=AB=4,∠A=90°,在Rt△ABD中,由勾股定理得,BD==4,因为△DCE是等腰直角三角形,所以∠CDE=45°,DE=EC==2,所以∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°,在Rt△BDE中,由勾股定理得,BE==2.14.[解析]连接CF,∵正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,∴GF=GB=5,BC=7,∴GC=GB+BC=5+7=12,∴CF===13.∵M,N分别是DC,DF的中点,∴MN=CF=.故答案为.15.[解析]由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段AB上运动,点G也一定在直线上运动.将△EFB绕点E按顺时针方向旋转60°,使EF与EG重合,得到△EGH,则△EFB≌△EGH.从而可知△EBH为等边三角形,点G在垂直于HE的直线HN上.作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值,作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形,则CM=MP+CP=HE+EC=1+=.故答案为.16.解:(1)解法一:过点P作PF⊥y轴于F,∵点P到边AD的距离为m.∴PF=m=.∴点P的横坐标为.由题得,C(1,1),可得直线AC的解析式为:y=x.当x=时,y=.所以P,.解法二:如图,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,∵点P到边AD,AB的距离分别为m,n,∴PE=n,PF=m.∴P(m,n).∵四边形ABCD是正方形,∴AC平分∠DAB,∵点P在对角线AC上,∴m=n=,∴P,.(2)解法一:如图,以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.则由(1)得P(m,n).若点P在△DAB的内部,点P需满足的条件是:①在x轴上方,且在直线BD的下方;②在y轴右侧,且在直线BD的左侧.设直线BD的解析式为:y=kx+b,把点B(1,0),D(0,1)分别代入,可得直线BD的解析式为:y=-x+1.当x=m时,y=-m+1.由点P在直线BD的下方,可得n<-m+1.由点P在x轴上方,可得n>0.即0<n<-m+1.同理,由②可得0<m<-n+1.所以m,n需满足的条件是:0<n<-m+1且0<m<-n+1.即m+n<1且m>0,n>0.,解法二:如图,过点P作PE'⊥AB于E',作PF'⊥AD于F'∴PE'=n,PF'=m.在正方形ABCD中,∠ADB=∠ADC=45°,∠A=90°.∴∠A=∠PE'A=∠PF'A=90°.∴四边形PE'AF'为矩形.∴PE'=F'A=n.若点P在△DAB的内部,则延长F'P交对角线BD于点M.在Rt△DF'M中,∠DMF'=90°-∠F'DM=45°.∴∠DMF'=∠F'DM.∴DF'=F'M.∵PF'<F'M,∴PF'<DF'.∴PE'+PF'=F'A+PF'<F'A+DF'.即m+n<1.又∵m>0,n>0,∴m,n需满足的条件是m+n<1且m>0,n>0.。