若 f(x)(xx*)mg(x)
其中， g(x*)0,m为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（3.1.1）
的单根或函数 f (的x) 单零点。 当 m时2， 称 x为* 方程（3.1.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 扫描法（逐步搜索法） (3) 二分法*
后来伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学 落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱， 被开除学籍，又决斗受伤，死于1832年。决斗 前，他把关于五次代数求解的研究成果写成长 信，留了下来。
十四年后，法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并 发表了伽罗华的遗作，人们才意识到这项近代数学 发展史上的重要成果的宝贵。
（1） (描)做图法
画出 y=f(x) 的草图, 由f(x)与横轴交点的大概位置
来确定隔根区间; 或者利用导函数f(x)的正、负与函
数f(x)的单调性的关系确定根的大概位置.
若f(x)比较复杂, 还可将方程f(x)=0化为一个等价
方程(x)=(x), 则曲线y=(x)与y=(x)之交点A(x*,y*)
38年后，即1870年，法国数学家若当(C·Jordan) 在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华的思 想，一门现代数学的分支 — 群论诞生了。
在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程的 有效算法，它们构成了数值分析中的古典算法。至 于超越方程则不存在一般的求根方式。
1.根的存在性
f (x) 0 （3.1.1）
误差
分析：
第1步产生的
x1
a
2
b
有误差
|x1
x*| ba 2
第 k 步产生的 xk 有误差 |xk x*| b2ka
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b 2 k a ε
k l n b a ln ε
ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f(x0)f(x0h)0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
例1：考察方程
f(x)x3x10
x
[ a , b ] [ a 1 , b 1 ] [ a n , b n ]
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间 [an , bn]的长度为
bnan21n(ba) 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将 无限进行下去. 当 n→∞ 时，区间必将最终收缩为一 点x* ，显然x*就是所求的根.
•1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的 解法。
•《九章算术》(50~100年)其中“”有联立一次方 程组的一般解法。
•1535年意大利数学家尼柯洛冯塔纳找到了一元三 次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几 次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但 是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世.
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0称 为方程x * （3.1.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
m重根
f (x) 0 （3.1.1）
1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois 18111832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数 解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根， 并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可 能的
文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷 遇，且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递 稿，得到泊松院士的判词“完全不能理解”。
的横坐标 x*即为原方程之根, 据此也可通过作图求得 x*的隔根区间.
如求解方程 xx 10 的近似根
方法1: 将方程同解变换成 然后画两条曲线
lg x 1 x
y lg x
y
1 x
y y 1 x
ygx
0
2 3
x
这两条曲线的交点的横座标大致为x=2.5
(2) 扫描法（逐步搜索法）
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
（3） 二分法*（对分法）
设f(x)在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在[a, b]
1
内有方程的根. பைடு நூலகம்[a, b]的中点
x0
(ab), 2
将区间一分为二. 若 f (x0)=0, 则x0就是方程的根,
否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.
• 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对 冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请 教，希望获得冯塔纳的求根公式。
•后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语 言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。 冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可 是卡尔丹诺通过解三次方程的对比实践，很快就 彻底破译了冯塔纳的秘密。
若f(a) ·f(x0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0; 若f(x0) ·f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b.
不论出现哪种情况, (a1, b1)均为新的有根区间, 它 的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根
区间的目的.
对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压 缩. 如此反复进行, 即可的一系列有根区间套
注： 1.用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根 的大概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小 区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二 分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必 要求 f (a)·f (b) < 0 。
•卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了 自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的 名字。
• 由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡 尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹 诺公式”。
后来，卡尔丹诺的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了 四次方程的解法。
但对于五次方程求根，求索工作始终没有成效， 导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。