§3.2(I) Jacobi 迭代法 （Jacobi iterative method）
数学问题的描述
Jacobi迭代法的主要步
骤
1. The mathematical form 2. The process of Jacobi iterative method
数学问题的描述
Ax=b x= M-1 Nx + M-1 b
B= M-1 N, f= M-1 b
注：选取M阵，就得到解 Ax=b 的各种迭代 法 Re.mark: We can obtain various iterative schemes
by choosing different M.
本章重点介绍三个迭代法，即：
0满足(k什么条∞)件时有
Bk+1 0
The convergence of {x(k) } Bk+1 0
The condition ?
基本迭代法 the based iterative technique
设有 Ax b, 其中AA为非(a奇ij )异矩Rn阵n . 将A分裂为 A M N ,
The process of iterative method
解线性方程组迭代法的主要步骤是:
1. 把所给的线性方程组Ax=b 化成如下形式的同解
方程组
Converting Ax=b into an equivalent form
x=Bx+f
（3-1)
2. 给出初始向量
X 0
x(0) 1
,
x20
Direct techniques are used for solving linear systems of small
dimension. For large systems with high percentage of
0 entries, the direct methods are not efficient enough in term
其中M为可选择的非奇异矩阵，且使Mx=d容易求解， 一般选择为A的某种近似，称M为分裂矩阵.
Splitting A into two parts, nonsingular matrix M and general matrix –N. That is A=M-N.
于是，求解Ax=b转化为求解 Mx=Nx+b ，即
An iterative technique to solving Ax=b starts with an initial Approximate x0 and generates a sequence
of {x(k)}(k=1,2…..) that converges To x.
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迭代法的主要步骤
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迭代法的基本思想
The ideal of iterative method
迭代法是解线性方程组的一种重要的实用方法， 特别适用于求解在实际中大量出现的，系数矩阵为 稀疏阵的大型线性方程组。
迭代法的基本思想是去构成一个向量序列{x(k)}， 使其收敛至某个极限向量x* ，并且x*就是要求解的 方程组：Ax = b 的准确解。
如果按上述迭代公式所得到的向量序列
{ x(k)}收敛于某个向量x* ,则x* 就是方程组 Ax =b 的解，并称此迭代法收敛。否则，就叫不
收敛或发散。
式(3-1)、(3-2)中的矩阵B ，称为迭代矩阵。
迭代公式的构造 迭代公式的收敛性
Problem:
1. How to construct iterative scheme? 2. The convergence of iterative scheme.
研究 {x(k) }的收敛性
引进误差向量 e(k+1) = x(k+1) -x*
因此 e(k+1) =B e(k) (k=1,2,…..) 所以 e(k+1) = Bk+1 e(0)
x(k+1)=Bx(k)+ f
要考察 {x(k) } 的收敛性, 就要研究B在什么条件下有
e(k+-Seidel iterative)
3.3 迭代法的收敛性 (The convergence of iterative method)
3.4 SOR法 (SOR method))
本章学习要点
概论
引子 迭代法的基本思想 迭代法的主要步骤
引子(Introduction)
直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以 看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量 级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但 是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的 n的矩阵，而且这些矩阵(系数矩阵)往往是含有大量的 0元素。对于这类的矩阵，再用直接法时就会耗费大 量的时间和存储单元。另一方面,实际计算结果精度有 时无法保证. 主要原因是在多次消去、回代过程中四 则运算的误差积累与传播无法控制. 因此我们有必要 引入一类新的方法：迭代法。
1）Jacobi迭代法, 2）Gauss-Seidel 迭代法, 3）超松弛迭代法（SOR法）
及其收敛性。
The three iterative schemes in the textbook: 1. Jacobi iteration 2. Gauss-Seidel iteration 3. SOR method
,,按xn迭0 T代公Rn式
x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,…) （3-2)
进行计算,其中k 表迭代次数。
For given initial vector x0, the sequence s of approximate Solutions are generated by computing (3-2)
第三章 线性方程组迭代解法
Iterative techniques for solving linear system
内容提要(content)
3.1 概 论(Introduction)
3.2(I) Jacobi 迭代法(Jacobi iterative) 3.2(II) Gauss-Seidel 迭代法