认识三角形1．三角形有关的概念(1) 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．(2) 三角形的表示三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。

如图7 -4一l ，三角形有三个顶点：A 、B 、C ；有三条边：AB 、BC 、AC;有三个角：A ∠、B ∠、C ∠．△ABC 的三边用c b a ,,表示时，A ∠所对的边BC 用a 表示．B ∠所对的边AC 用b 表示．C ∠所对的边AB 用c 表示．2．三角形的分类⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角，则三角形是锐角三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形．3．三角形中边的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边；（2）三角形的任意两边之差小于第三边如图7 -4 -1中，c b a b a c a b c b c a a c b c b a <-<-<->+>+>+,,;,,。

注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。

例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6，所以这三条线段能组成三角形．又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8，所以这三条线段不能组成三角形．4．三角形的三种主要线段(1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。

如图7 -4 -2，AD 是△ABC 的高，可表示为AD ⊥ BC 或ADC ∠=90°或ADB ∠= 90°。

(2)中线：在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。

如图7 -4 -3，AE 是△ABC 的中线，表示为BE=EC 或BE = 21BC 或BC= 2EC. (3)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段．如图7-4-4，AF 是ABC ∆的角平分线，可表示为CAF BAF ∠=∠或BAC BAF ∠=∠21或CAF BAC ∠=∠2.一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。

5．三角形的高、角平分线、中线的画法(1)三角形高的画法，如图7-4 -5．注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲，③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙，④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．(2) 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线．(3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。

防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．6．面积法解题例如：如图7 -4 -6，在△ABC中，AB =AC ，AC 边上的高BD= 10，求AB 边上的高CE 的长．解析：由三角形面积公式有：AC BD AB CE S ABC ⋅=⋅=∆2121 因为AB =AC ，BD =10，所以CE= BD= 10.名题诠释【例题1】如图7 -4 -7，点D 是△ABC 的边BC 上的一点，点E 在AD 上．(1)图中共有____个三角形；(2)以.AC 为边的三角形是____；(3)以∠BDE 为内角的三角形是____.【解析】 (1)AD 的左右两侧各有3个三角形，分别是△ABE 、△ABD 、△EBD 、△ACE 、△.ACD 、△ECD ，左右两侧组合又形成2个以BC 为边的三角形，它们是△ABC 、△EBC.故共有8个三角形．(2) 以AC 为边的三角形有3个，它们是△.ACE 、△ACD 、△ACB. (3)以∠BDE 为内角的三角形有2个，它们是△EBD 、△ABD ．【答案】 (1)8 (2)△ACE 、△ACD 、△ACB (3)△EBD 、△ABD【点评】 数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形．【例题2】 下列三角形分别是什么三角形？（1）已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；(2) 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；(3) 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；(4) 已知一个三角形的周长为16cm ，有两边的长分别是6cm 和4cm.【解析】 确定三角形的形状，应紧扣定义．【答案】 (1) 锐角三角形，因为三角形内角和为180°，而两个内角分别是50°和60°，所以第三个内角是70°，即这个三角形是锐角三角形．(2) 直角三角形，同理．(3) 钝角三角形，同理．(4) 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6(cm)．【点评】 应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别．【例题3】 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )．A. lcm 、2cm 、3.5cmB.4cm 、5cm 、9cmC. 5cm 、8cm 、15cmD.8cm 、8cm 、9cm【解析】 因为1+2<3.5，所以lcm 、2cm 、3.5cm 的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9，所以4cm 、5cm 、9cm 的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15，所以5cm 、8cm 、15cm 的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9，所以8cm 、8cm 、9cm 的三条线段能构成三角形．【答案】D【点评】 三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．【例题4】 甲地离学校4km ，乙地离学校lkm ．记甲、乙两地之间的距离为dkm ，则d 的取值为( )．A.3B.5C.3或5 D ．3≤d ≤5【解析】本题应分两种情况讨论：(1)甲、乙两地与学校在一条直线上；(2)甲、乙两地与学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题．【答案】 D【例题5】 如图7-4 -8，在△ABC 中，1∠=2∠，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H ，下面判断正确的有( )．①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高线．A.l 个 B ．2个 C.3个 D ．4个【解析】由1∠=2∠知AD 平分∠BAE ．但AD 不是△ABE 内的线段，故①错，AD 应是△ABC 的角平分线；同理，BE 经过△ABD 的边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确，正确的说法应是BG 是△ABD 边AD 上的中线；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是△ACD 边AD 上的高，故③正确；AH 平分∠FAC 并且在△ACF 内，故AH 是△ACF 的角平分线，同理AH 也是△ACF 的高，故④正确．【答案】B【点评】 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延伸．【例题6】在△ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长，【解析】 中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，要分类讨论：(1)当腰长小于底边时，AB +AD =12，如图7-4 -9①；(2)当腰长大于底边时，AB +AD =15，如图7-4 -9②．【答案】设AB=x ，则有：AD= DC=x 21． (1)若AB +AD =12，即x + x 21=12，x =8． AB =AC =8,DC =4，故BC= 15 -4= 11.此时AB +AC> BC ，所以三角形三边长分别为8cm ，8cm ，llcm.(2)若AB+ .4D= 15，即x +x 21=15，x =10． 即AB =AC =10，DC =5，故BC=12 -5 =7．显然，此时三角形存在，所以三角形三边长分别为l0cm ，l0cm ，7cm ．综上所述，此三角形的三边长分别为8cm ，8cm ．llcm 或l0cm ，l0cm ，7cm ．【例题7】 如图7-4 -10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画法错误的是____________【解析】 甲图错在把三自形的高线与AC 边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE 与AC 不垂直；丙图错在没有过点B 画AC 的垂线，故不是高；丁图错在没有向点B 的对边画垂线．【答案】 甲、乙、丙、丁【例题8】 如图7—4-11，在△ABC 中，AB =AC ，AC 边上高BD=10，P 为边BC 上任意一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．【解析】 连接AP 后，PM 、PN 就转化为△APB 和△APC 的高，从而由面积法可求得PM+ PN 的值．【答案】 连接AP ，由图7-4 -11可知：ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+， 即BD AC PN AC PM AB ⋅=⋅+⋅212121 因为AB =AC ，BD =10，所以PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12，图中三角形的个数共有 ( )．A 1个B ．2个 C.3个 D ．4个2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru ，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是________，这个三角形是___________三角形3如图7 -4 -13．( 1 ) AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是___________的高，_______=_______= 90°；( 2 ) 若AE 平分BAC ∠，交BC 于E 点，AE 叫___________的角平分线，BAE ∠ =_______=21________; ( 3 ) 若AF= FC ，则△ABC 的中线是_________;( 4 ) 若BC= GH= HF ．则AG 是________的中线，AH 是_________的中线。