（1）求先抽到的一份是女生表的概率 p1 ； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 p2 。
三 (12 分)．设ˆ1,ˆ2 是参数 的两个独立的无偏估计量，且ˆ1 的方差是ˆ2 的方差的 倍，试 确定常数 a 及 b ，使得 aˆ1 bˆ2 为参数 的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差
（3）对任意的 ， 0 1，试证 X (1 )S 2 也是 的无偏估计（其中 X 为样本均
值）。
八 (18 分)．设正态总体的方差 2 为已知，均值 只可能取 0 或 1( 0 ) 二值之一， X 为总 体的容量为 n 的样本均值。在给定的水平 下，检验假设
H0 : 0 ； H1 : 1 0 ，
机密★启用前
江苏大学 2005 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计 考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效
一 (12 分)．设 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(B A) 0.8, 求 P(A B)与 P(B A)。
二 (12 分)．设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分 别是 2 份、7 份和 10 份，随机地取一个地区的报名表，再从中先后抽取两份。
最小。
四
(18 分)．设 X1, X n , X n1 为来自总体 X
~
N (, 2 ) 的样本 (n 1) ，若 X
1 n
n i 1
Xi
，
S 2
1 n 1
n i 1
(X i
X
)2
，试求常数 c ，使 c( X
X n1 ) /
S
~
t(n
1) ；又若 n
9
，且
P( X kS X10 X kS ) 0.90 ，求 k 的值。（已知 t0.05 (8) 1.86 ）
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六 (18 分)．设总体 X ~ N (,4) ， X1, X n 为来自总体 X 的一个样本，样本均值为 X ，
问：
（1）样本容量 n 应取多大，才能使 a) P{ X 0.1} 0.95 ；
b) E[( X )2] 0.2 ；
10
（2）求 P{ ( X i X )2 45.6} i 1
五 (18 分)．设随机变量 X ,Y 相互独立， X 在[0,1] 上服从均匀分布， Y 服从参数 5 的指
数分布，即 Y
的分布密度为
fY
(y)
5e5 y , 0,
y 0
。
y0
求：（1） ( X ,Y ) 的联合分布密度；
（2）设含 a 的二次方程为 a2 2 X a Y 0 ，试求 a 有实根的概率 （3）求随机变量 X 与 Y 之和的分布密度。
（已知
(1.96)
0.9750,
2 0.25
(9)
11.4
）
七 (18 分)．设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其分布密度为
f ( X ; ) P{X x} xe , x!
x 0,1, 2, ( 0)
（1）求参数 的极大似然估计量，此估计量是无偏的吗？
（2）试证样本方差 S 2 是 的无偏估计；
犯第二类错误的概率为 ： P{X 0 k 1}
（1）试证明：
(Z
1 /
0 n
)
，并由此导出关系式
Z
Z
1 0 / n
及
n
(Z
Z
)2
(1
2
0 )2
（2）又问 a) 若 n 固定，当 减少时 的值怎样变化？
b) 若 n 固定，当 减少时 的值怎样变化？
九 (12 分)．证明：如果 X ,Y 相互独立，则 D( XY ) DXDY (EX ) 2DY (EY ) 2DX
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十 (12 分)．设 A, B 为两个随机事件， P( A) 0, P(B) 0 ，记
X1，若ຫໍສະໝຸດ 发生，X1，
若B发生
0，若A不发生
0，若B不发生
试证明：如果 X ,Y 不相关，则 X ,Y 相互独立。
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