历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r，则( )A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r，2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u ur )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．45．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r．若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．56．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r，则OC u u u r等于( )A ．2OA OB -u u u r u u u rB ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u ur u u u rD ．1233OA OB -+u u ur u u u r8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r顺时针旋转30︒后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r rB ．1230b b b -+=r r rC ．1230b b b +-=r r rD ．1230b b b ++=r r r9．（2016•上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r、2122b x e y e =+u r u u r r有结论：①若12210x y x y -=，则//a b rr ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥rr ．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r)A ．8B ．4C ．2D ．111．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r)A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r，设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ，)(μ= )A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)713．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，||1a =r，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233a b +r rB ．2133a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +rr二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n += ．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则x = ，y = ．16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r ，则λ= ．17．（2013•北京）向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则λμ= ．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r，则( )A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】由4414()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；故选：A ．2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r，2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u ur )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1233BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r，1233CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，以上三式相加得13AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u ur ，故选：A ．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是( )A ．[4，6] B．11]+ C．， D．11]【答案】D【解析】Q 动点D 满足||1CD =u u u r，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π． 又(1,0)A -，B ，∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+u u u r u u u r u u u r．||OA OB OD ∴++=u u u r u u u r u u u r ，（其中sinϕ=cos ϕ1sin()1θϕ-+Q 剟，∴221)88)81)θϕ=-+++=，||OA OB OD ∴++u u u r u u u r u u u r的取值范围是1]．或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是1]．故选：D ．4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r，则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r ，即12344OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，所以12341()4OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ．当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM u u u u r也是确定的，所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．5．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r．若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r知，点M 为ABC ∆的重心，设点D 为底边BC 的中点，则2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以有3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，故3m =，故选：B ．6．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r【答案】A【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==在DBE ∆中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r，则OC u u u r等于( ) A ．2OA OB -u u u r u u u rB ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u ur u u u rD ．1233OA OB -+u u ur u u u r【答案】A【解析】Q 依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．∴2OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r．故选：A ．8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r顺时针旋转30︒后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r r B ．1230b b b -+=r r rC ．1230b b b +-=r r rD ．1230b b b ++=r r r【答案】D【解析】向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r ，向量1a r 、2a r 、3a r顺时针旋转30︒后与1b r 、2b r 、3b r 同向，且||2||i i b a =r r，∴1230b b b ++=r r r ，故选：D ．9．（2016•上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r 、2122b x e y e =+u r u u r r有结论：①若12210x y x y -=，则//a b r r ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥rr ．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】A【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=r r，则11122122()x e y e x e y e λ+=+u r u u r u r u u r ，Q 向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b rr ．②若12120x x y y +=，则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r rr g g g g ，无法得到0a b =r r g ，因此a b ⊥r r 不一定正确．故选：A ．10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r)A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由216BC =u u u r ，得||4BC =u u u r，Q ||||||4AB AC AB AC BC +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而||2||AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ∴||2AM =u u u u r故选：C ．11．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r 3144AB AC =-u u ur u u u r ，故选：A ．12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r，设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ，)(μ= )A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)7【答案】B【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，∴11112224AF AC AD AC AE =+=+u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r ，1122AE AF AB =+u u u r u u u r u u u r ．∴1477AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴14,77λμ==，故选：B ．13．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，||1a =r，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233a b +r rB ．2133a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +rr【答案】B【解析】CD Q 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， Q AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r rr r 故选：B ．二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n += ．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．由OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=．cosα∴，sin α=．17(,)55C ∴．3cos(45)sin )5ααα+︒=-=-．4sin(45)cos )5ααα+︒+=． 34(,)55B ∴-．Q (,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，54m =． 则3m n +=．故答案为：3．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则x = ，y = ． 【答案】11,26-．【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；由平面向量基本定理，得到12x =，16y =- 16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ= ． 【答案】2．【解析】Q 四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =u u u r u u u r，∴2AB AD AO +=u u u r u u u r u u u r ， Q AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，2λ∴=．故答案为：2．17．（2013•北京）向量a r ，b r ，c r在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则λμ= ．【答案】4．【解析】以向量a r、b r 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =-r ，(6,2)b =r ，(1,3)c =--rQ (,)c a b R λμλμ=+∈r r r ∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-因此，2412λμ-==-故答案为：4。