解三角形专题1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值．4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,ABC S ∆= （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值.12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

⑴求角A 的大小； ⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求角B 的大小13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值.14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积.15、（2009全国卷Ⅰ理） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b16、（2009浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos2A =， 3AB AC ⋅=u u u r u u u r．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．17、6.（2009北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.19、（2009安徽卷理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值 ， (II)设AC=6，求∆ABC 的面积.20、（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(13)2c b +=．（1）求C ； （2）若13CB CA ⋅=+u u u r u u u r，求a ,b ，c ．21、（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ； （2）若33ABC S ∆=+,求,a c . 21世纪教育网22、（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。

23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sinC=23sinB ，则A=（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC V 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C= -14。

（Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC ，求b 及c 的长。

26、（2010年高考广东卷理科16）已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4． (1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求sin α．27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。

(Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若12,AB AC a ==u u u r u u u rg ,b c （其中b c <）。

答案：1. 解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=Q3A π=203B π∴<<sin 4sin sin BCAC B xA ==Q 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<（2）y =Q 21sin()sin )32x x x x x π-=+26sin cos x x x =+7)2)6666x x ππππ=-+-<-<当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值 2、解：（1）由正弦定理有：)60sin(||120sin 1sin ||00θθ-==AB BC ； ∴θsin 120sin 1||0=BC ，00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→→•=BCAB f )(θ21)60sin(sin 340⋅-⋅=θθθθθsin )sin 21cos 23(32-=)30(61)62sin(31πθπθ<<-+= （2）由6562630ππθππθ<+<⇒<<； ∴1)62sin(21≤+<πθ；∴)(θf ]61,0(∈ 3、解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2，a 2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC=12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3154、(1)解：m ∥n ⇒ 2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π3(2)由tan2B ＝－ 3 ⇒ B ＝π3或5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝34ac ≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3……1分②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3) ……1分∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝14ac ≤2－ 3 ∴△ABC 的面积最大值为2－ 3 注：没有指明等号成立条件的不扣分.5、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B （II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 66、（Ⅰ）解：由cos 5A =，cos 10B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sin A B ==因为cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=且0C π<< 故.4C π=（Ⅱ）解：根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C BC ⋅=⇒==，所以ABC ∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= 7、解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22=--A A ……2分即01cos cos 22=-+A A1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是Θ舍去 3π=∴A（2）a c b 3=+Θ 由正弦定理，23sin 3sin sin ==+A C Bπ32=+C B Θ23)32sin(sin =-+∴B B π23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即8、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin有23sin 0cos ,0cos 3cos sin 2===-C C C C C 或所以由3,23sin ,,13,4π==<==C C a c c a 则所以只能有，由余弦定理31,034cos 22222===+-⋅-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当.3sin 21,133sin 21,3=⋅===⋅==C ab S b C ab S b 时当时9、解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯∵0C π<<， ∴34C π=（II ）∵0<tanB<tanA ，∴A 、B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角， ∴最短边为b，最长边长为c由1tan 3B =，解得sin B =由sin sin b cB C =，∴1sin sin c Bb C⋅===10、解：(1) ∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理，得01cos 4cos 42=+-C C解 得：21cos =C ……5分∵︒<<︒1800C ∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC ，即7=a2+b2－ab∴ab b a 3)(72-+= 由条件a+b=5得 7=25－3abab=6∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC11、解：依题意，11sin 42sin 22ABC S AB AC A A A =⨯=⨯⨯==V ，所以3A π=或23A π=(1)当3A π=时，,△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2，面积为224ππ=当23A π=时，由余弦定理得22222cos 1648283BC AB AC AB AC π=+-=++=g ，BC=2△ABC 外接圆半径为R=2sin 3BC A=， 面积为283π（2）由（1）知3A π=或23A π=，当3A π=时, △ABC 是直角三角形，∴6B π=, cos(2B+3π)=cos 2132π=-当23A π=时,由正弦定理得，2,sin sin 142B B =∴=,cos(2B+3π)=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π=(1-2sin2B)cos 3π-2sinBcosBsin 3π=222111(1)2142147⨯-⨯-⨯=-12、解：⑴由⊥m n ，得0=gm n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=Q ,(0,)A B π∈，∴1sin 0,cos 2B A ≠=，∴3A π=（6分）⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin666y B B B B B πππ=++=-++11sin 2cos 21sin(2)226B B B π=+-=+-由(1)得，270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时，即3B π=时，y 取最大值213、解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅ΘB ac A bc cos cos =∴⋅=⋅又B A A B cos sin cos sin =∴ 即0cos sin cos sin =-A B B A0)sin(=-∴B A B A B A =∴<-<-ππΘABC ∆∴为等腰三角形. （II ）由（I ）知b a =22cos 2222c bc a c b bc A bc =-+⋅==⋅∴ 2=c Θ1=∴k14、解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B cC R s i n s i n s i n ===2得a R Ab R B cR C ===222s i n s i n s i n ，，将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C BA C =-+=-+22得即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++=即20s i n c o s s i n ()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20∵s i n c o s A B ≠，∴，012=- ∵B 为三角形的内角，∴B =23π.解法二：由余弦定理得c o s c o s B a c b a c C a b ca b =+-=+-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c ba c =-++-+-=-+2222222222得×整理得a c b a c 222+-=-∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角，∴B =23π（II ）将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c a c B 2222=+-c o s 得b ac a c a c B 2222=+--()c o s ，∴131621123=--=a c a c ()，∴ ∴S a c B A B C△==12343s i n .15、分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。