6-4 系统的模拟图与框图 一、 三种运算器系统模拟中应用的运算器有三种：、(也称标量乘法器)和。

三种运算器的表示符号及其时域、s 域中输入与输出的关系，如表6 - 3中所示。

二、 系统模拟的定义与系统的模拟图在实验室中用三种运算器：加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型——微分方程或系统函数H(s)，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。

经过模拟而得到的系统称为模拟系统。

从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上的模拟。

模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型——微分方程或系统函数H(s)。

这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究。

例如当系统参数或输入信号改变时，系统的响应如何变化，系统的工作是否稳定，系统的性能指标能否满足要求，系统的频率响应如何变化，等等。

所有这些都可用实验仪器直接进行观测，或在计算机的输出装置上直接显示出来。

模拟系统的输出信号，就是系统微分方程的解，称为模拟解。

这不仅比直接求解系统的微分方程来得简便，而且便于确定系统的最佳参数和最佳工作状态。

这正是系统模拟的重要实用意义和理论价值。

在工程实际中，三种运算器：加法器、数乘器和积分器，都是用含有运算放大器的电路来实现，这在电路基础课程中已进行了研究，不再赘述。

系统模拟一般都是用模拟计算机或数字计算机实现，也可在专用的实验设备上实现。

由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。

模拟图与系统的微分方程(或系统函数H(s))在描述系统特性方面是等价的。

三、 常用的模拟图形式常用的模拟图有四种形式：直接形式、并联形式、级联形式和混联形式。

它们都可以根据系统的微分方程或系统函数H(s)画出。

在模拟计算机中，每一个积分器都备有专用的输入初始条件的引入端，当进行模拟实验时，每一个积分器都要引入它应有的初始条件。

有了这样的理解，下面画系统模拟图时，为简明方便，先设系统的初始状态为零，即系统为零状态。

此时，模拟系统的输出信号，就只是系统的零状态响应了。

1．直接形式设系统微分方程为二阶的，即'''10()()()()y t a y t a y t f t ++= （6 - 15）为了画出其直接形式的模拟图，将式(6 - 15) 改写为'''10()()()()y t a y t a y t f t =--+根据此式即可画出时域直接形式的模拟图，如图6-18(a)所示。

可见图中有两个积分器(因为微分方程是二阶的)，有两个数乘器和一个加法器。

图中各变量之间的关系，一目了然，无需赘述。

名称加法器数乘器积分器时域表示s 域表示信号流图表示∑∑()y t 2()f t 12()()()y t f t f t =+∑12()()()Y s F s F s =+12()()()Y s F s F s =+1()F s 2()F s ()Y s 111()F s 2()F s ()Y s ()f t ()y t ()()y t af t =aa()F s ()Y s ()()Y s aF s =a ()F s ()Y s ()()Y s aF s =()f t ()y t ⎰()()(0)()tty t f d y f d ττττ---∞==+⎰⎰0(0)()y f d ττ---∞=⎰其中()Y s ()F s 1(0)y s -1s11()()(0)Y s F s y s s-=+()F s ()Y s 1(0)y s-1s -1111()()(0)Y s F s y s s-=+若将式(6 - 15)进行拉普拉斯变换即有210()()()()s Y s a sY s a Y s F s ++= （6- 16）或210()()()()s Y s a sY s a Y s F s =--+ （6- 17）根据此式即可画出s 域直接形式的模拟图，如图6 – 18 (b)所示。

'''()y t(F s ()Y s (a)(b)图 6 - 18将图6 – 18 (a)和 (b)对照，可看出两者的结构完全相同，仅是两者的变量表示形式不同。

图(a)中是时域变量，图(b)中则是s 域变量，而且两者完全是对应的。

所以，为简便，以后就不必要将两种图都画出了，而只需画出二者之一即可。

根据式(6 - 16)可求出系统函数为22121010()1()()1Y s s H s F s s a s a a s a s ---===++++ （6 - 18）将式(6 - 18)与图6 - 18(b)进行联系对比，不难看出，若系统函数H(s)已知，则根据H(s)直接画出s 域直接形式模拟图的方法也是一目了然的。

若系统的微分方程为如下的形式：''''''10210()()()()()()y t a y t a y t b f t b f t b f t ++=++ （6 - 19）则其系统函数 (这里取m=n=2)为2122102102121010()()()1b s b s b b b s b s Y s H s F s s a s a a s a s ----++++===++++ （6 - 20）为了画出与此微分方程或H(s)相对应的直接形式的模拟图，可引入中间变量x(t)，使之满足下式，即 '''10()()()()x t a x t a x t f t ++=（6 - 21）故有'''10()()()()x t a x t a x t f t =--+ （6 - 22）与此式相对应的模拟图如图6-19(a)的下面部分所示。

将式(6 - 21)分别相继乘以012,,b b b 系数，即有'''010000()[()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++= （6 - 23）'''111011()[()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++= （6 - 24）'''212022()[()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++= （6 - 25）将式(6 - 24)求导一次，将式(6 - 25)求导两次，即有 '''''''111011[()][()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++='''''''''''212022[()][()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++=此两式又可写为 '''''''111011[()][()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++= （6 - 26）'''''''''''212022[()][()][()]()b x t a b x t a b x t b f t ++= （6 - 27）将式(6 - 23)，式(6 - 26)，式(6 - 27)相加并归并同类项即得'''''''''2101210[()()()][()()()]b x t b x t b x t a b x t b x t b x t ++++++''''''0210210[()()()]()()()a b x t b x t b x t b f t b f t b f t ++=++ （6 - 28）将式(6 - 28)与式(6 - 19)比较，可看出必有'''210()()()()y t b x t b x t b x t =++ （6 - 29）根据式(6 - 29)即可画出与之对应的模拟图，如图6 – 19 (a)中的上面部分所示。

这样，就得到了与式(6 - 19)相对应的完整的直接形式的模拟图，如图6 – 19 (a)所示。

与式(6 - 19)相对应的s 域直接形式的模拟图如图6 – 19 (b)所示。

此图也可根据系统函数H(s)的表示式(6 - 20)直接画出，其步骤和方法一目了然，也无需赘述。

从图6 - 19中看出，图中有两个积分器(因微分方程是二阶的)、两个加法器(因式(6 - 19)中等号左端和右端各有一个求和式)和五个数乘器。

推广 若系统的微分方程为n 阶的，且设m=n ，即1'110()()()()n n n y t a y t a y t a y t --++⋅⋅⋅++=1'110()()()()m m m m b f t b f t b f t b f t --++⋅⋅⋅++ （6 – 30a ）则其系统函数为11101110()()()m m m m nn n b s b s b s b Y s H s F s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （6 – 30b ） 或1(1)1101(1)110()()()1m mm m n n n b b s b s b s Y s H s F s a s a s a s ----------++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++（6 – 30c ）仿照上面的结论，可以很容易地画出与上两式相对应的时域和s 域直接形式的模()f t ()y t (a)∑⎰⎰0b ∑1a -0a -1b 2b ()F s 2()s X s ()sX s ()X s ()Y s (b)图 6- 19 （a ）时域，（b ）s 域 拟图。

请读者自己画出。

需要指出，直接形式的模拟图，只适用于m ≤n 的情况。

因当m ＞n 时，就无法模拟了。

2．并联形式设系统函数仍为式(6 - 20)，即2210210()b s b s b H s s a s a ++=++ （6 – 31a ）将式(6 - 31a)化成真分式并将余式0()N s 展开成部分分式，即00122222101212()()()()()N s N s K K H s b b b s a s a s p s p s p s p =+=+=++++---- （6 – 31b ）式中12,p p 为H(s)的单阶极点12,K K 为部分分式的待定系数，它们都是可以求得的。