巧旋转妙解题
1.理解旋转变换的作用是什么？
旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状、大小.
2.在什么情况下需要利用旋转变换？图形具备什么条件时可以实现旋转？
当图形过于分散或集中，无法有效利用时，需要移动图形，而移动图形的手段就是三种变换.当图形中只要存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换.
3. 怎么旋转？
确定旋转中心、旋转方向、旋转角度.
4.旋转之后怎么办？
利用旋转的性质.
对基本图形的认识：
以等边三角形为背景的旋转问题
举例1：如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.
求：①∠ AMB的度数；②求AM的长.
练习1.如图，O是等
边三角形ABC 内一点，已知：115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，则以线段OA OB OC ，
，为边构成三角形的各角度数是多少？
2.如图，P 是等边ABC ∆内一点，若3AP =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．
3.如图所示，P 是等边ABC ∆内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC ∆的边长.
4.如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =
，PB =4PC =，试求ABC ∆的边长.
O
C
B
A
P
C
B
A 5
43P
C
B
A P
C
B
A
5.如图，P 是等边ABC ∆外的一点，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．
A
B
P
6.如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？
D
C
B
A
以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题 举例1：已知，△ABC 中, A D ⊥BC 于D, 且AD=BD,O 是AD 上一点，OD=CD,连结BO 并延长交AC 于E.求证：AC=OB
举例2：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：
（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º． ①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．
试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
练习1.如图所示：ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且3AP =，2CP =，1BP =，求BPC ∠的度数．
2.如图，正方形ABCD 内一点P ，15PAD PDA ∠=∠=︒，连结PB 、PC ，请问：PBC ∆是等边三角形吗？为什么？
1
23
P C B
A
P
D
C B
A
3.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，若PA a =，2PB a =，3(0)PC a a =>.
求：⑴ APB ∠的度数；⑵ 正方形的边长.
4.如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===，
，，将PDC ∆绕着D 点按逆时针旋转90︒到PQD ∆ 的位置。

（1）求:PQ PD 的值；（2）求APD ∠的度数。

5.
已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P ，D 两点落在直线AB 的两侧如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应的APB ∠的大小。

以一般等腰三角形为背景的旋转问题
举例1:(1)如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，求证：BQ =CP .
(2)将点P 移到等腰三角形ABC 之外，(1)中的条件不变， “BQ =CP ”还 成立吗？
A Q
B P C
Q P
B
A P
D
C
B A
P D
C
B A Q
P
D
C
B
A
举例2：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠ADB＝∠ADC，
求证：∠DBC＝∠DCB.
∠>∠，求证：∆中，AB AC
=，P是ABC
∆内任意一点，已知APC APB
PB PC
>．
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A
P
B
C。