重要习题例题归纳第二章 静电场和恒定电场一、例题：1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。

试计算空间中各点的电场强度。

解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。

当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=⋅⎰→→SS d E ，故有0=→E ，导体内无电场。

当0r r>时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r Sr r Sr r r r S=⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→则有：r E l r 02περ=2、例2.2.6（39P ）圆柱坐标系中，在m r2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-⋅m C ρ。

利用高斯定律求各区域的电场强度。

解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。

现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。

当m r20≤≤时，有02=⋅=⋅⎰→→rL E S d E r Sπ，即0=r E ；当m rm 42≤≤时，有)4(1220-=⋅=⋅⎰→→r L rL E S d E r Sπρεπ，因此，)4(220-=r rE r ερ；当m r 4≥时，有L rL E S d E r Sπρεπ0122=⋅=⋅⎰→→，即r E r 06ερ=。

3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220ar -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0ρ为常数。

试计算球内、外的电场强度和电位函数。

解：（1）求场强：当a r >时，由高斯定律得2224επQ E r S d E S==⋅⎰→→而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。

300242002158)(44)(a dr a r r dr r r Q aaπρπρπρ=-==⎰⎰因此20302152r a a E rερ→→=当a r <时)53(44)(1425300020121a r r dr r r E r S d E rS -===⋅⎰⎰→→επρπρεπ因此)33(23001a r r a E r-=→→ερ （2）球电位；当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为ra r d E r r03022152)(ερ=⋅=Φ⎰∞→→当a r =时，即球面上的电位为20152ερa S =Φ 当a r <时)1032(2)(24220011a r r a r d E r a rS +-=⋅+Φ=Φ⎰→→ερ4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→→m r a P m r 。

试求此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。

解：在球坐标系中，由于极化强度中与有关，具有球对称性，故当R r <时，122)2()(1-→+-=∂∂-=⋅-∇=m mpr m r r rr P ρ当R r =时，m m r r pS R R a a P n =⋅=⋅=→→→→ρ。

5、例2.4.2（49P ）有一介质同轴传输线，内导体半径为cm r 11=，外导体半径cm r 8.13=。

两导体间充满两层均匀介质，它们分界面的半径为cm r 5.12=，已知内、外两层介质的介电常数为02017,4εεεε==；击穿电场强度分别为./k 100,/k 12021cm V E cm V E m m ==问：（1）内、外导体间的电压U 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能耐的最高电压是多少伏？解：当内、外导体上加上电压U ，则内外导体上将分布l ρ+和l ρ-的电荷密度。

由于电场分布具有轴对称性，在与传输线同轴的半径为r 的柱面上，场的大小相等，方向在→r a 方向。

选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得当1r r <时，000==r r D E ；当21r r r <<时，r D l r πρ21=或rr E l l r 01182περπερ==；当32r r r <<时，rD lr πρ22=或rr E l l r 022142περπερ==。

可以看出，两层介质中电场都在内表面上最强，且在分界面上不连续，这是在分界面上存在束缚电荷的缘故。

在介质1中，1r r =处场强最大为1011182r r E ll r m περπερ==，在介质2中，2r r =处场强最大为20222142r r E l l r m περπερ==由于12r r >，显然r r E E 12>，在两种介质中最大场强的差值为：)147(141481220201021-=-=-r r r r r E E l l l r m r m περπερπερ代入1r 和2r 的值得r m r m r m r m E r r E E E 212221625.1)147(=-=-当介质2内表面上达到cm V /k 100的电场强度时，介质1内表面已达到cm V /k 5.162的电场强度，因此，介质1在介质2被击穿前早已被击穿。

而当介质1内表面上达到击穿电场强度时cm V r r E ll r m /k 1208210111===περπερ即1012042r l⨯=περ 因此，介质1和介质2内的电场分布为cm V rr r r E l l r /k 120821011===περπερcm V rr r r E l l r /k 712041421022⨯===περπερ故，传输线上的最大电压不能超过V r r r r r r drr r dr r r dr E dr E U r r r r r r r r r r m k 16.61ln 7480ln1207480120231121112132213221=+=+=+=⎰⎰⎰⎰6、例2.7.1（59P ）半径为R 的导体球上带电量为Q ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。

解：当R r <时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。

当R r ≥时，利用高斯定律，电场强度为204rQ E r πε=电位分布为rQ ⋅=Φ041πε 球面上的电位为RQ R ⋅=Φ041πε 此导电球储存的静电能为RQ Q W R e 208121⋅=Φ=πε 而空间任一点的能量密度为J rQ E w e 4022203221επε== 静电场储存的静电能为J RQ dr w r WR Re e02284πεπ==⎰∞二、习题2.20 （本题与例2.3.1同类型）半径为a 的带点球，其体电荷密度为)0(0≥=n r n ρρ，0ρ为常数，求球内外各处的电位和电场强度。

解：（1）求场强，利用高斯定律 当a r <时，1214επQ E rS d E S==⋅⎰→→而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。

30)3(4επρτρτ+==+⎰n r d Q n因此， 0101)3(ερ+=+→→n r a E n r当a r>时，3020200222)3(4sin 114επρϕθρθετρεπππτ+====⋅+→→⎰⎰⎰⎰⎰n a d r r d dr d E r S d E n n aS所以，20302)3(r n a a E n rερ+=+→→（2）求电位，取无穷远处的电位为零，则 当a r ≤时)2()3(22200211+++∞∞++-+=+==Φ⎰⎰⎰n n n aa rra n r a n dr E dr E Edr ερ当a r >时rn a dr E n r03022)3(ερ+==Φ+∞⎰2.23 如图所示，内导体球半径为a ，外导体球壳内半径为b ，外半径为c ，如果内导体球带电量为Q ，外导体球壳不带电。

求：（1）两导体上的电荷分布；（2）导体内外各处的电场强度；（3）导体内外各处的电位分布。

解：（1）内导体球带电量为Q ，由于静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为Q -，外表面带电量为Q +。

内导体球的电荷体密度为3314334a Qa QQ ππτρ===；外导体球壳的内表面电荷面密度为：224bQ πρ-=；外导体球壳外表面电荷面密度为：234c Q πρ=。

（2）求场强，利用高斯定律， 当a r <时，球内无电场，即01=→E ；当b r a <<时，202022244rQ a E QE rS d E rSπεεπ→→→→=⇒==⋅⎰当c r b <<时，无电场，即03=→E ；当c r >时，204042444rQ a E QE r S d E rSπεεπ→→→→=⇒==⋅⎰（3）求电位，取无穷远处得电位为零， 当a r <时，题2.23图)111(4043211cb a Qdr E dr E dr E dr E ccbbaar+-=+++=⎰⎰⎰⎰∞πεϕ 当b r a <<时，)111(404322cb r Qdr E dr E dr E cc bb r+-=++=⎰⎰⎰∞πεϕ 当c r b <<时，cQ dr E dr E cc r04334πεϕ=+=⎰⎰∞当c r >时，rQ dr E r0444πεϕ==⎰∞2.30 一圆心在原点，半径为a 的介质球，其极化强度)0(≥=→→n ar a P n r 。

试求 （1）此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。

（2）求球内外各点的电位。

解：（1）介质球内束缚电荷体密度为：122)2()(1-→+-=∂∂-=⋅-∇=m np ar n ar r rr P ρ 束缚电荷面密度为：1+→→→→=⋅⋅=⋅=n n r r pS a a a a a P n ρ（2）先求介质球内自由电荷的体密度：100)2()(-→→→→→→→→⋅-+=⋅∇=⇒⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=+⋅∇=⋅∇=n rn a D P D P E P E D εεερεεεερ 然后求球内外各点的场强：当a r <时，由于→→→+=P E D 10ε且→→=1E D ε，所以，01εε-=→→nrar a E当a r ≥时，由高斯定律有：2224επQ E r S d E S==⋅⎰→→而30202104sin )2(εεπεϕθθεεετρππτ-=⋅⋅-+==+-⎰⎰⎰⎰n a n a d drd r r n Q d Q ，所以：20032)(r a a E n r εεεε-=+→→再求球内外各点的电位：当a r <时，)())(1()(002011211εεεεεεϕ-+-+-=+=+++∞⎰⎰n n n aa ra n r a a dr E dr E当a r ≥时，ra dr E n r⋅-==+∞⎰)(00321εεεεϕ 2.31（略） 第四章 恒定磁场一、例题1、例4.2.1（105P ）计算真空中半径为R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场。