duC iC C dt
uC
当
，q不变
当 0， q不变。
U
0
CU
uC U(t)

iC
t U 0
uC t

0

CU
t
iC

[ ( t ) ( t )]
iC CU(t) iC
CU(t) 0 t



iC dt q CU
特例 US
i
S

+
t = 0时合S C 则 i= CUS(t)
第9章 阶跃响应、冲激响应 和卷积积分的应用
本章重点 9.1 阶跃函数和冲激函数 9.2 阶跃响应 9.3 冲激响应 9.4 电路在任意激励作用下的零状态 响应——卷积积分 9.5 电容电压和电感电流的跃变
本章重点
阶跃函数和冲激函数
阶跃响应和冲激响应 卷积积分 电容电压和电感电流的跃变
返回目录
9.1
阶跃函数和冲激函数
(t)
一、单位阶跃函数（unit step function） 1. 定义
0 (t ) 1
def
(t 0) (t 0)
1 0 t
用 ( t )可描述开关的动作。 R + uC – R
US
S
C
US(t)
def
+ uC –
C
开关在t =0 时闭合
t
0
0
0 /2
1


面积不变
令 lim p( t ) ( t )
2. 单位冲激函数的定义
符号
(t)
0 (t ) 0
(t 0) (t 0)
0
t
0




(t )dt 1
0
k(t)
k(t)
δ(t )dt 1
脉冲强度为k的冲激函数
(t )
零状态
(t )
h(t)
0
t
(t ) 0 (t 0) (t )dt 1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
方法一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1
已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC (t)。
uS/V 10 0
0.5
t/s
uS [10 (t ) 10 (t 0.5)] V
10k
由叠加定理有 10k i C1 + 10k 10 ( t )V uC(0-)=0
10 ( t 0.5)V 100F -
+
10k uC(0-)=0
i C2 100F
10k + 10 ( t ) 10k i C1 100F 等效
三、 (t) 和(t)的关系
(t)
(1) 0 (t) 1 0 t t
0 (t 0) = (t) (t )dt 1 (t 0)
t
d ( t ) (t ) dt
返回目录
9.2
阶跃响应
阶跃响应（step response）：阶跃函数激励下电路中产生的 零状态响应。 单位阶跃响应（unit step response）：单位阶跃函数激励下 电路中产生的零状态响应。 阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于 零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直
uC [1 Aet sin(t )] (t ) ( p1,2 j )
uC (0 ) 由起始值 duC dt t 0 可确定二个待定系数。
返回目录
9.3
冲激响应
冲激响应（impulse response）：电路在冲激激励作用 下的的零状态响应。
duC uC C (t ) dt R
C[uC (0 ) uC (0 )] 1
1 1 uC (0 ) uC (0 ) C C


0
0
0 u 0 duC C C dt dt ( t )dt 0 0 dt R


=0
=1
uC不是冲激，仅是有限的跳变。 （2） t > 0+ RC放电 iC C
uC
–
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
0 1 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d = US C 0
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 ) (t t0 )dt 1
e 2 t mA (0 t 0.5 s) i(t ) - 2( t - 0.5) mA ( t 0.5 s) - 0.632e
0.5
t/s
-0.632
二、二阶电路的阶跃响应
以RLC串联电路为例讨论。 L i R + (t ) C + uC 已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 以uC为变量微分方程为
R t uL (t ) e ( t ) L
iL L
L R
1 iL e L

t

t
R uL i L R e L
1 L
iL
uL
δ( t )
0
t
0
R L
t
例3
已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。 R uS
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] (e 1 1)e 2( t 0.5) ( t 0.5)
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
波形 1 0.368 0 i/mA 分段表示为
例1 1 0
f(t)
(0 t t 0 ) 1 f (t ) 0 (t 0 , t t0 )
t
t0
试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
解 所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。 1 f(t) ( t) t0 t
f (t ) (t ) (t t0 )
d 2 uC duC LC RC uC (t ) dt dt 二阶常系数非齐次微分方程。
上述微分方程等价于：
d 2 uC duC LC RC uC 1 (t 0) dt dt
特征根为 p1,2
R R 2 1 2 ( ) 2 0 2L 2L LC
流电压源（或电流源）作用于该电路。求解该电路相
当于求直流激励作用下的零状态响应。
一、一阶电路的阶跃响应 以下图RC电路为例。t>0时，可用三要素法得到其解。 R i C
t RC
ε( t )
uC (0-)=0
+ uC –
1 0
uC
t
uC (t ) (1 e
1 i (t ) e R
t RC
) (t )
1 R
i
t
t RC
(t )
0
注意
ie
t RC
(t ) 和 i e

(t 0)的区别。
R
(t -t0 )
C
t- t0 RC
+ uC –
若激励在 t = t0 时加入， 则响应从 t = t0开始。 f(t ) (t)
f (t )
1 iC e R
按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不 同形式，uC解答可表示为 过阻尼情况
uC (1 A1e p1t A2e p2t ) (t ) (p1 p2 )
临界阻尼情况
uC (1 A1e t A2te t ) (t ) ( p1 p2 )
欠阻尼情况
5k
5 ( t )
+
i C2 100F
-
uC(0-)=0 uC(0-)=0 RC 100 106 5 103 0.5s
iC1 e2t (t ) mA
10k + 10ε( t 0.5) 10k iC 100F
uC(0-)=0
由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2( t 0.5) (t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
iC e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] [e 2 t e 2( t 0.5) ] ( t 0.5)
=0
Ldi 1
0
0
=1
1 1 L L
i L (0 ) i L (0 )
定性分析
uL (t )
Δ uLd 1
0
0
Δ 1 i L (0 ) i L (0 ) L L

（2） t > 0+ RL放电 R
+ uL 1 iL ( 0 ) L 冲激响应为 1 t iL e ( t ) L
二、单位冲激函数（unit pulse function）
1. 单位脉冲函数
2/
1/
p(t)
1 p( t ) 0
def
(0 t ) (t 0 , t )
p( t )