泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
从Riemann积分到Lebesgue积分
Legesgue积分的思想是，优先照顾函数取值， 将函数值相差不大的那些x集中起来，考虑集合Ei
= { x | yi-1<f (x)< yi }，然后求其长度， yi m(Ei)和yi-1 m(Ei)用来近似所对应的那块面积，最后再对所有
的小块积分
Dirichlet函数仍旧可以积分
D(x) 1,
当x为有理 数
0, 当x为 无理数
从Riemann积分到Lebesgue积分
Legesgue积分方法所面临的问题：
给定直线上的点集E，如何定义它的“长度”？ 引 出了集合测度的概念
对于任何实数a和b，点集{ x | a≤f (x)< b}是否
有长度？该问题与函数y = f (x)的性质密切相 关， 引出了可测函数的概念
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
则称ρ(x, y)为x与 y间的距离（或度量），并称X是以ρ为距离 的 距离空间（或度量空间），记成(X, ρ)，或简记为X；X中的
元 素称为X中的点．
距离空间：注记
所谓距离空间，就是在集合X内引入了距离．
在一个集合中，定义距离的方式不唯一。如果对同一个集合 X引入的距离不同那么所构成的距离空间也不同 在集合互中引入距离后，我们就说在X中引入了拓扑结构
(i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精 细，近似程度越好。
不可积分的反例：Dirichlet函数
当x为有理 D(x) 1, 数 该函数太不连续0了, ，在当小x为区间内 变化很大 无理数
距离空间：定义
设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都对
应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
泛函分析中的三个“空间”概念
距离空间 Banach空间（完备的赋范线性空间） Hilbert空间（完备的内积空间）
大千世界，具云：三千大千世界。四大部洲之上，加须弥山半腰的四天王天， 及须弥山顶的忉利天，并空间中的夜摩天、兜率天、化乐天、他化自在天等六 天为欲界。再加上层的大梵天、梵众天、梵辅天等，色界初禅天为一世界，千 个世界为小千世界。又一小千世界，具千日、千月、千须弥山、千四大部洲、 千四天王天、千忉利天、千夜摩天、千兜率天、千化乐天、千他化自在天、千 梵天等。又千个小千世界为中千世界，具百万日月、百万须弥山、百万四天下、 百万六欲天、百万初禅天及千个二禅天。又千个中千世界为大千世界，具百亿 日月、百亿须弥山、百亿四天下、百亿六欲天、百亿初禅天、百亿二禅天及千 个三禅天。所谓三千世界，乃小千、中千、大千之所指三数目的千世界。又云 大千，即指三千之中的大为目标，故说「三千大千世界」，略云「大千世界」。
代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性 条 件也极其相似 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多 变 函数用几何学的语言解释成多维空间的影响
泛函分析的产生
函数概念被赋予了更为一般的意义
古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应 关系 现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应 关系
泛函分析的主要研究内容
泛函分析自身
算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论
与其他数学学科的关联
微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、计算数学、控 制 论、最优化理论等学科中都有重要的应用，建立群上调和 分析理 论的基本工具
与其他科学学科的关联
连续介质力学、量子物理学，是研究无限个自由度物理系统 的 重要而自然的工具之一
Lp[a,b]空间
表示区间[a,b]绝对值的p次幂L可积函数的全 体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函 数。
x(t) Lp[a, b], b x(t) p dt (p 1)存
a
在
拓展古典分析中的概念
Lebesgue测度
Lebesgue积分
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的定义：