26.图形面积的计算问题解决 例1 （“五羊杯”邀请赛试题）如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为225cm 和235cm ，那么梯形的面积是_______cm 2．【答案】144 AOD S =△235(cm )BOC S =，△ AOD DOCABO BOCS S DO S BO S ==，△△△△得249(cm )DOC S =△． 例2 （江苏省竞赛题）如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m n 、，那么△AEG 的面积的值（ ）． A ．只与m 的大小有关 B ．只与n 的大小有关 C ．与m n 、的大小都有关 D ．与m n 、的大小都无关【答案】B 连AC AC ，∥GE ，212AGE GCE S S n ==△△．例 3 如图，三角形ABC 内的线段BD CE 、相交于点O ，已知2OB OD OC OE ==，．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为1234S S S S 、、、．（1）求1S ∶3S 的值； （2）如果22S =，求4S 的值．【答案】（1）23212S S S S ==，，得1S ∶31S =∶2．（2）由22S =,得1312S S ==，，连接OA ，设AOE S x =，△则1AOD AOB S S x ==+，△△ 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得314x x =+=，，所以4347S =+=．例4 如图，△ABC 的面积为1，D E 、为AC 的三等分点，F G 、为BC 的三等分点． 求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFCN 的面积．【答案】（1）133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①+②，得16x y +=，即16PECF S =四形边．AOBDCAB CD EF GABCD EON M Q GFE D CBA P（2）连NC ND ，，设NGB NCE S a S b ==，，△△则22NCG NEAS a S b ==，，△△则1332233a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得121421a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1115321642BEC BNG PFGN PECF S S S S =--=--=四形四形△△边边．例5 （武汉市竞赛题）如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．解法1 如图①，14AMD AMC AMG S S S ==，△△△为公共部分，所以AGD MCG S S =，△△因为AMG AMD 与△△的高相等（以A 为顶点作高），MCG MCD 与△△的高相等（以C 为顶点作高），所以AMG MCGAMD MCDS S MG S S MD==，△△△△即141142MCHMCG S S -=，△△解得1112663MCG S S ==⨯=影，△阴．M CM CB图①图②图③解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△，又1122AMG ABG AGD S S S ==，△△△所以221122212343AGD AMD S S S ==⨯=⨯⨯=+影△△阴． 解法3 如图③，连接BD BG 、，设BD AC 、交于点O ，AMG S x =△，因为14AMD AOD ABCD S S S ==，△△所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD BMG AMG S S x S S x ====，，△△△△ 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△，即14x x x =++，所以112x =． 所以12().3AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=影△△△△阴皮克公式例6 （江苏省常州市中考题）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出与x 之间的关系式．答：_______．（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =_______．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 【答案】（1）111;(2)1;(3)1222S x S x S x n ==+=+-． 数学冲浪知识技能广场1．（江苏省竞赛题）如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果175S =cm 2，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_______cm 2．【答案】108 2．（《时代学习报》数学文化节试题）图中最大正方形的边长是10cm ，阴影部分的总面积是_______cm 2 【答案】25（第1题）ABCDEFG （第3题）（第2题）S 4S 3S 2S 13．（2012年“希望杯”邀请赛试题）如图，边长为4cm 的等边△ABC 沿边BC 向右平移2cm 得△DEF ，DE 与AC 交于点G ，则ABC ABFD S S =四形△边∶_______．【答案】2∶1 ABC ADFC S S =四形△边4．（河北省中考题）把三张大小相同的正方形卡片A B C ，，叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图②摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S _______2S （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】=图①图②（第6题）（第5题）（第4题）5．（“希望杯”邀请赛试题）如图，在直角扇形ABC 中，分别以AB AC 、为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成1234S S S S 、、、四部分，则2S 与4S 的大小关系是（ ）．A ．24S S <B ．24S S =C ．24S S >D ．无法确定的【答案】B 6．（黑龙江省中考题）已知在正方形网格中，每个小方形都是边长为1的正方形，A B 、两点的小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A B C 、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 【答案】D 7．（“希望杯”邀请赛试题）如图，在长方形ABCD 中，11223AE BG BF AD AB =====，E H G 、、在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）． A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD 的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（ ）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 【答案】B（第7题）CDF GOABC（第8题）DFGKABCDE（第9题）（第10题）9．（南宁市中考题）如图，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的长边为4，求△DEK 的面积． 【答案】16DEK BEFG S S ==四形△边10．（江苏省竞赛题）如图，ABC △的边30cm AB =，25cm AC =，点D F 、在AC 上，点E G 、在AB 上，12345ADE DEF EFG GBC S S S S =△△△△∶∶∶∶∶∶∶，求AD 和GE 的长．【答案】设cm AD x =，则2cm DF x =，3cm AF x =，由(122)432AFG FGC S S =++=△△∶∶∶，得2cm FC x =，3225AC x x =+=，故5x =，即5cm AD =，同理2AE EC AG BG ==，， 20cm 10cm AG EG ==，．思维方法天地 11．（“五羊杯”邀请赛试题）如图，若长方形APHM BNHP CQHN 、、的面积分别为746、、，则阴影部分的面积是_______． 【答案】8.5 连HDQ B CDM NABCD EPABCD P Q（第11题）（第12题）（第13题）12．（江苏省竞赛题）如图，三角形ABC 的面积为1，BD ∶DC =2∶1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为_______． 【答案】73013．（《时代学习报》数学文化节试题）如图，长方形ABCD ，60cm 45cm AD AB ==，，Q 为CD 的中点，在BC 上取一点P ，使APQ △的面积等于9002cm ，则BP =_______．【答案】40cm 设cm BP x =，则(60)cm PC x =-，由1451604560222APQ S =⨯-⨯⨯-⨯△145(60)2x x --×45900402x ==，得．14．（2012年四川省竞赛题）如图，若P 为平行四边形ABCD 内的一点，且52PAB PAD S S ==，，△△则PAC S △ =_______．【答案】3 设PAH PCH S m S n ==，，△△则1252BHC BHC ABCDS n m S S++=-+=△△．（第16题）A BCDH P ABCDEF（第15题）（第14题）15．（“希望杯”邀请赛试题）如图，ABCD 平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1214BCE CDF S S S ==⋅=平行四形，△△边则CEF S =△_______． 【答案】74 连AC DE ，，则11422BCE CDF ABCD S S S AB EB E ====平行四形，，，，△△边为AB 中点，344AD FD AF AD ==，，3344AEF ADE CEF CDF ABCD S S S S S ===--平行四形，△△△△边 13741244AEF BCE BCE S S S --=---=△△△． 16．（世界数学团体锦标赛试题）如图，大圆有4个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是_______cm 2（π取3）．【答案】150 如图，因为1与2、3与4、5与6、7与8、9与10、11与12部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即20.5π1050π=150⨯⨯=（平方厘米）．（第16题）17．（“希望杯”邀请赛试题）如图，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于D ，连接CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积． 【答案】16设BOF BOD S x S y ==，，△△ 则14AOE COE AOB COBS S S S ====，△△△△ （第17题）D CABE FO131444AOF ACF BCF S x S x S x =-=-=+，，△△△． 由AOF ACFBOF BCFS S AF S BF S ==，△△△△得134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-，解得112x =． 同理有131444COD ACD ABD S y S y S y =-=-=+，，，△△△由 BOD ABD CODBCD S S BD S CD S ==，△△△△得112y =． 故11112126BDOF S x y =+=+=四形边． 18．（“华罗庚杯”邀请赛试题）如图，△ABC 中，12DC EA FB DB EC FA ===，求GHI ABC 的面的面△积△积的值． 【答案】17 连BG ，设ABC DCG BGF S S S x S y ===，，，△△△则1332233x y S x y S ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得121EAH ABC S S S ==，△△又13ADC BEA S S S ==，△△得12532121GCEH HAFI S S S S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭四形四形，边边这样21011321217GHI S S S ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，△即17GHI ABC S S =△△． 应用探究乐园 19．（河北省中考题）在如图①至图③中，ABC △的面积为a ． 探索（1）如图①，延长ABC △的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若△ACD 的面积为1S ，则1S =_______（用含a 的代表式表示）；（2）如图②，延长ABC △的边BC 到点D ，延长CA 到点E ，使CD BC AE CA ==，，连接DE ．若△DEC 的面积为2S ，则2S =_______（用含a 的代数式表示），并写出理由；（第18题）G HI FEBA CD（第19题）B图④图①图②图③C DHFDB CDMG（3）在图②的基础上延长AB到点F，使BF AB=，连接FD FE、，得到DEF△（如图③）．若阴影部分的面积为3S，则3S=_______（用含a的代数式表示）．发现像上面那样，将ABC△各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF△（如图③），此时，我们称ABC△向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的DEF△的面积是原来ABC△面积的_______倍．应用去年在面积为10m2的ABC△空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把ABC△向外进行两次扩展，第一次由ABC△扩展成DEF△，第二次由DEF△扩展成MGH△(如图④)．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2?【答案】探索：（1）a；（2）2a；理由：连接AD CD BC AE CA==，，，22;(3)6;DAC DAE ABCS S S a S a a∴===∴=，△△△发现：7应用：拓展区域的面积：22(71)10480(m)-⨯=．20．（“五羊杯”竞赛题）如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，求正方形盒子的面积．【答案】51.2 移动黄块到左边缘，在移动的过程中，黄块露出的部分减少多少，绿块块露出的部分就增加多少，即“黄+绿”=14+10=24不变．当黄块移动到靠左边缘时，由于红块是正方形，大盒也是正方形，可得这时“黄”=“绿”=24÷2=12，易知此时“左上”ד右下”=“右上”ד左下”，可得“右上”=12×12÷20=7.2，所以“大盒”的面积．绿红黄（第20题）。