1.5.3《定积分的概念》导学案
编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间：2014.5.13 班级 组名 姓名 等
级 __________
【学习目标】
1. 了解定积分的概念和性质，能用定积分定义求简单的定积分；
2. 理解定积分的几何意义. 【学习重难点】
重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分. 难点：定积分的概念、定积分的几何意义.
【知识链接】 1. 回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的 “四步曲”为：
2. ______________________________ 求曲边梯形面积的公式 求变速直线运动路程的公式 __________
【学习过程】知识点一：定积分的概念 一般地，设函数f （x ）在区间［a,b ］上连续，用分点
a = x)€X€^<||Kxx€X€|lkx,=b
将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为A x （A x = 每个小区间〔X4,X i ］上取一点q （i =1,2,川,n ），作和式:
n
n .
S n =2 f 佗疋X =2 口 f(q )
i 1 i rn n
如果也X 无限接近于0 （亦即n T +乂）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那
b
说明：（1）定积分J f （X ）dX 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S （ n T +处
时） a
sx-14-(2-2)-025
），在 么称该常数S 为函数f （X ）在区间［a, b ］上的。

记为：S =
，其中f （X ）称为
，X 叫作
，［a,b ］为积
分区间，b 叫作
，a 叫作积分下限。

根据定积分的几何意义，你能用定积分表示右图中阴影部分的面积
S
b
[[f ig ±f 2(x)]dx =
b
称为J f (x)dx ，而不是S n
.
"■ a
(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间［a,b ］；②近似代替:
n K
取点③求和：2 口 f E );④取极限:
y n
[f (x)dx =lim 送 f (匕 Y 'a n
Yy b -a n
(3)曲边图形面积:
b
t 2
S =『f (X dx ;变速运动路程S = f v(t)dt ;变力做功
£ 吐
b
W = J a F(r)dr
b
考考你：(1) f f(x)dx_
■a
—
分与积分变量的记法__ a
(2)特例：f f(x)dx =
・a
b
f
f (t )dt (大于，小于，等于)，这说明定
积 ■a
_ (有关，无关)
知识点二：定积分的几何意义
问题1: 你能说出定积分的几何意义吗?
问题2：
问题3： b
J kf (x)dx = 定积分的性质:
(1) 数
)7J
k
y ■則刃
______
，hi
4 亍
为常
b
⑶ a f (x)dx = （其中 a c c c b ）.
问题4:你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗?
【例题精析】：例1利用定积分的定义，计算Jo X 2dx 的值.
【小试牛刀】:
2
3
1.计算
：0
x dx
的值,并从几何上解释这个值表示什么.
2.试用定积分的几何意义说明Jo'd dx 的大小.
b
3.利用定积分的定义，证明Ja ^dx 二b-a ，其中a,b 均为常数且a^b .
【课后作业】
1.计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么.
4.求
x 3
)dx 的值。

0 3 1 3 2 3
（1） jxdx ； （2）JX dx ； （3）jxdx ；
2. 如图描述了一物体运动速度v （单位：）的变化.请对这一物体在t = o 到
t=6 （单位：s ）之间走过的路程进行估计.
3. 一个物体从距离地面150m 的高空自由下
2
落，加速度为9.81m
/s .（ 1）写出速度作为时间的函数的表达式；（2）将时 间段
［0,4］
平均分成8等份，计算该物体下落的前4s 经过的距离的过剩近似 值（每
个十均取为小区间的右端点）与过剩近似值（每个 i
均取为小区间的 左端点）.
（3）试用定积分表示该物体前4s
内下落的距离s ，并求出s 的精 确值.资料个人收集整
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【课后反思】本节课我还有哪些疑惑?。