第四章 数学史上的丰碑 ——微积分
从世界开始到牛顿生活年代的全部数学中，牛 顿的工作超过了一半。
——莱布尼兹
自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中，
上帝说，生出牛顿， 一切都变得明朗。
——英国著名诗人波普
第四章 数学史上的丰碑
——微积分
如果我看得更远些，那是因为我站在巨 人的肩膀上。
我不知道世间把我看成什么人；但是对 我自己来说，就象一个海边玩耍的小孩有 时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的 贝壳，感到高兴，而在我面前是未被发现 的真理的大海。
第二章 数与符号
运算对象的拓展 ——数、字母、代数式、向量、函数、变 换等等
代数结构 ——数域、群、环、域等
第二章 数与符号
• 数学符号进化的过程经历了三个阶段：文 字阶段，简写阶段和符号阶段。实际上大 多数符号的出现还不到四百年。
• 引进符号体系是代数学的一个根本性的进 步。事实上，由于建立了完善的符号体系， 才使代数学成为一门科学。
• 演绎数学就在希腊诞生 。 • 欧几里得曾在柏拉图学院受过教育，后来移居亚历山大城
从事教学活动。他把亚里士多德的逻辑、结构、证明和推 理的严密性应用到数学中。欧几里得至少有10部著作，其 中5部被相当完整地保存了下来，但是，使他名垂不朽的 是《几何原本》。欧几里得的《几何原本》(Euclid,约公元 前330-前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.它是 古希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶。它是数学史 上第一个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统，是数学知 识系统化的开端，对后世数学、科学的发展起了不可估量 的示范作用。从它刚问世起就受到人们的高度重视.自1482 年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本.
——拉普拉斯
初等数学时期
• 演绎体系的形成 欧式几何 • 数与运算的发展 • 代数方程理论的建立和发展
在前人基础上，欧几里德对数学进行系
统整理和理论概括，他的著作《几何原本》 是以最基本的概念、公设、公理为推理的 出发点，推导出一系列定理和结论。这就 是公理化思想。欧几里德的《几何原本》 是数学史上的第一座理论丰碑，其最大的 功绩在于确立了数学中的演绎范式。
目标
开阔视野 拓展见识 提高兴趣
第一章 数学发展的四个时期
数学形成时期 远古——公元前6世纪 初等数学时期 公元前6世纪——16世纪 变量数学时期 17世纪——19世纪初 现代数学时期 19世纪初 ——现在
数学形成时期
• 数的产生 记数法的出现 进制的诞生 • 经验几何 • 算术
……
“用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对 值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。 这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此 简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是 它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便， 才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位； 而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两个人物 阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时， 我们更感到这成就的伟大了.”
第二章 数与符号
• 印度数学家婆什迦罗是第一个遇到“虚数”的人。 • 舒开成为在其数学著作中讨论这种数的第二人.很
明显,舒开已经拨响虚数概念的琴弦,却又把弦弄断 了,推迟了虚数概念的降生. • 欧拉给出了i的记号。 • 瑞士人阿尔冈（Jean-Robert Argand 1768—1822） 给出了复数和复数的代数运算的几何解释。我们 现在用的基本上是阿尔冈的方法。 • 在使人们接受复数方面，高斯做出了实质性的贡 献。
第三章 几何学发展史
• 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论 述了同一射影下，一个物体的不同截景所 形成的几何图形的共同性质，以及同一物 体在不同射影下截景的几何图形的共同性 质。这门”诞生于艺术的科学”,今天成了 最美的数学分支之一.
第三章 几何学发展史
• 在17世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种转折实质 上是由社会生产力的急速发展所引起的。数学根本性的转 折之一是解析几何的诞生。
跃，是人类文明史中的最伟大的一座丰碑。
第二章 数与符号
数的发展
——正整数、正分数、无理数、负数、零、复数 中国是世界上对负数认识最早的国家.负数是在《九章算
术》中首先出现的.但欧洲人承认负数却在16世纪，比中国 晚了一千多年。 希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数” 印度人起初用空位表示零,后记成“点”,最后发展为 “圈”.直到公元11世纪,包括有零号的印度数码和十进制 记数法臻于成熟,特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中 的空位,而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数. 零号 的发明是印度对世界文明的杰出贡献.
第五章 无限
• 数学中的无穷无尽，其诱人之处在于它的 最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花. E.Kasner and J.Newman
这种十进位制记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡 献.
• 历史上曾出现各种各样的进位制,有二进制、三进制、
五进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十 进制等等. 中国、埃及、印度采用十进制，巴比伦人采用 六十进制，罗马人采用十二进制，玛雅人采用二十进制.
•
记数法与十进制的诞生是科学发展史上一次重大的飞
第三章 几何学发展史
• 在西方世界，古希腊人已经在艺术和数学之间建 立了密切的联系，因为数学和艺术构成他们世界 观的主要部分。但是，在宗教统治的中世纪，这 种观点被抛弃了。直至文艺复兴时期，重新唤起 了人们对艺术和数学的渴望，唤起了人性的觉醒， 人们重新恢复了对大自然的兴趣，渴望描述真实 的世界，数学成为了反映世界和描述艺术的工具。 那个时期，艺术家都是工程师和建筑师，他们具 有良好的数学基础，可以说他们本身就是数学家。
• 社会就业形势 • 向数学提出了大量的问题
现代数学时期
数学的发展促进了计算机的诞生 计算机的发展推动了数学的繁荣
现代数学时期
高科技本质上是数学技术
——大卫
数学从幕后走到台前，在很多方面直接为社会创 造价值。
——姜伯驹 数学无处不在
——王绶琯
第二章 数与符号
数的表示——记数法与进制
中国是最早采用十进制的国家,这是一个伟大的成就.在 商代中期的甲骨文中已有十进位,其中最大的数为三万.到 春秋战国时代,开始出现严格的“十进位值制筹算”记数。
——牛顿
第四章 数学史上的丰碑
——微积分
• 作为科学的巨人，牛顿把一生都献给了科 学事业。
• 据他的助手回忆，牛顿往往一天伏案工作 18小时左右，仆人常常发现送到书房的午 饭和晚饭一口未动。偶尔去食堂用餐，出 门便陷入思考，兜个圈子又回到住所。惠 威尔在《归纳科学史》中写道：“除了顽 强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己 与常人有什么区别”。
第三章 几何学发展史
如何研究大自然中丰富 多彩的“形”和人为创造 的各式各样的“形”呢？ 人们从观察和实验开始， 从简单到复杂，从具体到 抽象，从整体到局部，从 局部到整体；不断地积累 几何学的知识；不断地整 理零散的、孤立的知识； 不断地构建一个又一个的 几何学理论体系；不断地 发掘几何学与其他学科的 联系和实际应用。到今天， 几何学已经是一个大的学 科，其中包含绚丽多彩的 各种分支。
• 解析几何的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何的局 限性表示不满:古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形.他 们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的约束, 缺乏直观，不是有益于发展思想的艺术.同时,他们都认识 到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用 来对抽象的未知量进行推理,代数学是一门潜在的方法科学. 因此,把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来,可以 取长补短.这样一来,一门新的科学诞生了.
国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅父子等为 积分思想的形成和发展做出了重要的贡献，他们 的工作领先了欧洲数学家的工作一千多年。 • 16，17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期， 其杰出的代表有伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642， 意大利天文学家、力学家、哲学家），开普勒 (Johanns Kepler,1571-1630，德国天文学家、数学 家、物理学家和哲学家)，卡瓦列里等。他们的工 作为牛顿、莱经验的几何学 最初的一些几何概念和知识要追溯到史
前时期，它们是在实践活动的进程中产生 的。大自然为人们提供了丰富多彩的几何 形体。
例如，基本几何图形——球、平面、直线等； 基本几何量——长度、面积和体积等。
第三章 几何学发展史
• 公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊。在希腊人手里， 几何学发生了质的变化。
——恩格斯
现代数学时期
形成坚实的数学基础——丰富的数学分支 计算机诞生、发展——数学的发展与繁荣 数学应用
——一批新的应用数学分支 ——一批新的交叉数学分支 ——推动了其他学科（自然科学、人文社会科学）的发展 ——数学应用渗透到各行各业，深入了人们的日常生活
现代数学时期
• 社会对数学和数学工作者的需求发生了实质性的 变化 日常生活、 生产、管理实践、 各个学科（自然科学、人文社会科学）、 技术科学、 人才的知识结构等等。
第三章 几何学发展史
• 画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想， 并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。
• 射影几何的诞生必须提到这样几位人物。 • 首先，是数学透视学的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404—
1446)，他不仅提出了投影线、截景等概念，还阐述了截 景的数学性质。 • 其次，就是自学成才的德沙格(G.Desargues,1591—1661)， 他提出了许多创造性的思想，包括为平行线引入无穷远点， 进而引出无穷远线的概念。 • 帕斯卡（B.Pascal,1623—1662）同样也为射影几何的诞生 做出了不朽的贡献。
变量数学时期
• 解析几何 非欧几何-----拓扑学 • 微积分（牛顿、莱布尼兹） -----分析类的分