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生存分布

一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
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新生儿的生存函数

F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F ( x) Pr(X x)
( x 0)
f x F ' x , x 0

s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s( x) 1 F ( x) Pr(X x)
( x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr(x X z) F ( z) F ( x) s( x) s( z)
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新生儿的生存函数
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(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， 而s(x)曲线形状如下图所示，
lx=l0s(x)
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x岁余寿的生存函数

x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx Pr[T ( x) t ]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示

x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t 0 n 1
n1 qx
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生命表基本函数
npx：
x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。

dx qx , lx
l x n d x l xn ,
l xn n px lx
n qx n px 1
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生命表基本函数
当n=1时，
1 Lx (lx lx 1) 2
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生命表基本函数

Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx Lx Lx 1
在均匀分布假设下，
L 1
x 1
t 0
L
x t
1 Tx lx i lx i 1 i 0 2
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。 当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生 到死亡平均每人存活的年数。
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例： 25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30% 在50 岁之前死亡。 25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算 25 p50 。 解： 已知 0.3(l 25 -l 75 )=l 25 l50 l25 l50 0.2 l25 由(**) 式可得： 0.8 l 25 l50 代入 (*) 可得： 0.125l50 0.3l75 由此可推知 l75 0.125 p 0.4167 25 50 l50 0.3


ex

l Tx ex t px dt x t dt 0 0 l lx x
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生命表基本函数
n｜ x
q ：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，
或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
d x n lx n d x n qx＝ n px qx n n｜ lx lx lx n
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2 个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死 亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故
n n n Lx nl x n n d x (l x l x n ) 2 2
第三章 生命表
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生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
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生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。
ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为
n｜m
q x ：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d x n lx n lx n m n px n m px n px m qx n n｜m qx＝ lx lx
m
当m 0时， ；当m 1时， qx；当m 时， n ｜ 0 qx 0 n ｜m qx n ｜ 1 qx n ｜ n ｜ qx n px。
t
px 1 t qx Pr[T (x) t ]
(t 0)
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当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数

考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t
qx Pr[x X t x | X x]
qx
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生命表基本函数
l x d x l x 1 , x 1, 2, 1 l x n d x l x n , n 1, 2, x 1
(1)
(2) (3)
l0
n
d
x 0
1
x
d x d x d x1 d xn1 n qx lx lx qx 1 qx 2 qx t qx
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例3.1 利用表 31，计算 (1) 一个新生婴儿存活到3岁的概率。 (2) 一个新生婴儿在1岁和3岁之间死亡的概率。 解： (1) l3 997255 0.997255 l0 1000000
(2) 在1岁和3岁之间的死亡人数为l1 l3 ,故死亡概率为 l1 l3 1165 0.001165 l0 1000000