2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。

其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。

所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。

其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。

“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030000002，因此， (A -E )(B -E )=O A -E =O 或B -E =O ，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2201B 选项(C)错误。

因为(A +B )(A -B )=A 2-AB +BA -B 2，所以，当且仅当A , B 可交换时，才会有(A +B )(A -B )=A 2-B 2.选项(D)正确。

因为AE =EA =A ，即A , E 可交换，所以，(A +E )(A -E )=A 2-AE +EA -E 2=A 2-E .5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是( A )(A) (A 2)-1=(A -1)2 (B) (k A )-1=k A -1 (k0)(C) (A +B )-1= A -1+B -1 (D) A -1BA =B解 选项(A)正确。

根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A 2)-1=(AA )-1 = A -1A -1 =(A -1)2选项(B)错误。

应该是(k A )-1=k -1A -1 (k0)选项(C)错误。

A , B 均为n 阶可逆矩阵时，A +B 不一定可逆；即使A +B 可逆，(A +B )-1也不一定是A -1+B -1。

反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002B 选项(D)错误。

矩阵乘法一般不满足交换律，故A -1BAA -1AB =B 。

二、填空题 (每小题4分，共20分)1. 行列式100000002013000201200020001000= 2013！.解1000000201300020120002000100=10002013002012002001000⋅!2013!2013)1(2)12013(2013=-=-⨯注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式：B A B OO A ⋅=⨯⨯mm kk (注意A ,B 必须是方阵)以及副对角行列式的计算公式nn n nλλλλλλ212)1(21)1(--=2. 行列式阶n 0111101111011110 = (-1)n -1(n -1) .解 阶n 0111101111011110111101111011111 ),3,2(1----=+n n n n n i r r i111101111011111)1( -n 对第一行提取公因子1111111)1( ),3,2(1----=-n n i r r i= (-1)n -1(n -1)注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等.3.3432143214321432130001001001001000 0000100001000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d d d c c c c b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000001134d d d d 解 用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010*********0左乘矩阵A ，相当于将A 的各行向上移动一行，故 000010000100001043214321432143213⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d dd c c cc b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000000004321d d d d 另外，用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001001001001000右乘矩阵A ，相当于将A 左右翻转，故 34321432143214321300010010010010000000100001000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d d d c c c c b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000000001134d d d d 注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要点和公式”中的Part II “一些特殊矩阵的乘积”.4. 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7531A ，则A -1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13/15/17/1 解 利用副对角阵的求逆公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121a a a a a a nn 5. 已知A 是4阶可逆矩阵，且A=2，则A -1= 1/2 ，A *= 8 .解 利用可逆矩阵的性质“A -1=A-1”以及伴随矩阵的性质“A *=An -1”，可得 A -1=2-1，A *=24-1=8.注：也可按如下方式求A *： 因为AA *=A E ，将A=2代入，得AA *=2E ，等号两边取行列式，有AA *=2E ，即2A *=24，于是A *=8.三、计算题（每小题7分，共35分）1. 设n 阶爪形行列式1212122222=D , 求D 中所有元素的代数余子式之和.解 将D 的第1行元素全部替换为1，并按第1行展开，得D 的第1行元素的代数余子式之和为121212111111211=+++n A A A11312)1(21),3,2(1nn n i r r i--=-n 23-=将D 的第2行元素全部替换为1，并按第2行展开，得D 的第2行元素的代数余子式之和为012121111222222221==+++n A A A (两行元素成比例)同理，D 的第3, 4,…, n 行元素的代数余子式之和也都是0. 于是，D 的所有元素的代数余子式之和为n A ni nj ij 2311-=∑∑==.注1 如果改变行列式D 的某一行(列)元素，行列式虽然变了，但该行(列)元素的代数余子式不会改变。

注2 本题利用了行列式按行(列)展开法则：ij nk jkik D A a δ=∑=1或ij nk kj ki D A a δ=∑=1(i =1,2,…,n )2. 问：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+02002043214131x x x kx x x kx x 只有零解时，k 必须满足什么条件？解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数=未知量个数，根据“方程组只有零解系数行列式D0”，有01421000011002001≠-=-=k k k D ，即k1/4.3. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001001001000a a aA ，(1) 求A 的值，并指出当a 满足什么条件时，A 是可逆矩阵；(2) 当A 可逆时，求A -1. 解 对矩阵A 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001001001000a a aA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B O记作 (1) 331)1(a -=⋅-=⨯C B A 当且仅当a0时，A 0，此时A 为可逆矩阵.(2) 根据分块法求逆矩阵的公式，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----O B C DB C A 11111 其中，()11=-B ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----1111a a a C ， 11---DB C ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=------1111111111a a a a a a 于是，A -1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=------0001000000111111a a a a a a 注1 解答中使用了分块法计算行列式的公式(参见第一章习题讲义“要点和公式”)B A *B A O ⋅-=⨯⨯km mm kk )1( 注2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式A -1=A-1A *，但计算过程繁琐，容易出错.注3 另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有AA -1=E .4. 设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=369246123A ，求A k (k 为正整数).解 ()TαβA 记作1,2,3321369246123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.于是，)())((T T T k αβαβαβA = T T T βαβαβα)()( = T k T βαβα1)(-=其中()103211,2,3=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αβTA αβA 111010--==n T n n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-369246123101n注 当矩阵的任意两行(列)元素对应成比例时，该矩阵可分解为列矩阵和行矩阵的乘积.5. 已知A ,B 都是2阶方阵，且A *BA = 2A *B + E ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112A ，A * 是A 的伴随矩阵，E 为2阶单位矩阵，求矩阵B .解 对A * BA = 2A * B + E 两端左乘A ，得AA *BA =2AA *B +A根据伴随矩阵的性质AA * =A E ，有A BA =2AB +A由于1=A ，于是BA =2B +AB (A -2E )= A其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11102E A ，由于12-=-E A ，故A -2E 可逆，其逆矩阵(A -2E )-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-122301111112)2(1E A A B注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式.四、证明题（每小题8分，共16分）1. 设A 是n 阶反对称矩阵，n 为奇数，证明：齐次线性方程组Ax =O 有非零解.证 A 是n 阶反对称矩阵A T =-A .对上式两边取行列式，有A T =-AA =(-1)n A由于n 为奇数，故A = -A ，即A =0.因此，当A 是奇数阶反对称矩阵时，齐次线性方程组Ax =O 的系数行列式等于0，于是该方程组有非零解.注 A 是方阵，所以Ax =O 是“方程个数=未知量个数”的齐次线性方程组，于是，要证明Ax =O 有非零解，就是证A =0.2. 已知A , B 均为n 阶方阵，且AB =A +B . (1) 证明：A -E 和B -E 均可逆，且互为逆矩阵； (2) 证明：如果A 可逆，则A +B 也可逆. 证 (1) AB =A +BAB -A -B+E =E (A -E )(B -E )=EA -E 和B -E 均可逆，且互为逆矩阵(定理：“若A 和B 均为n 阶方阵，且AB =E ，则BA =E .亦即，A ,B 均可逆，且互为逆矩阵”)(2) AB =A +BA (B -E ) =B已知A 可逆，又由(1)知B -E 可逆，所以B = A (B -E )可逆(定理：n 阶可逆矩阵的乘积仍是n 阶可逆矩阵).A 和B 可逆，所以AB 可逆. 由于A +B = AB ，故A +B 可逆.也可按如下方式证明：A 可逆 A 0，于是AB =A +B(A -E )B =A A -E B =A 0B于是，A +B =AB =A B 0 ，故 A +B 可逆注：下列错误不得分：在第(1)题中使用了A -1或B -1；在第(2)小题中认为两个可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵.五、解答题（9分）在某地，每年有比例为30%的农村居民移居城镇，有比例为10%的城镇居民移居农村，假设该地总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别记为a n 和b n (a n +b n =1).(1) 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b a x ，求关系式1-=n n Ax x 中的矩阵A ；(2) 已知(1)中的矩阵A 满足关系式AP =PB ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1311P ，求矩阵B ；(3) 设目前农村人口和城镇人口相等，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.05.00x ，求n x .解 (1) 依题意，有⎩⎨⎧+=+=----11119.03.01.07.0n n n n n n b a b b a a ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11 9.03.01.07.0n n n n b a b a 故 9.03.01.07.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A(2)P =4，故P 可逆，其逆矩阵为 1311411⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-P .对AP =PB 两边左乘P -1，得B =P -1AP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311 9.03.01.07.0 131141 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6.0001 (3) 由x n = Ax n -1 递推可得x n = Ax n -1 = A 2x n -2 = … = A n x 0对AP =PB 两边右乘P -1，得A =PBP -1，于是A n = (PBP -1) (PBP -1)… (PBP -1)= PB n P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1311 6.0001131141n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯--⨯+=n n n n 6.036.0336.016.03141 因此，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.0 9.03.01.07.0nn n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯--⨯+=5.05.0 6.036.0336.016.03141n n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n 6.036.0141 (从长期趋势看，农村人口趋于总人口的1/4，城镇人口趋于总人口的3/4.)。