2018年上海交通大学自主招生考试
数学试题
一、填空题（每题5分，共50分）
1．已知方程2212x px p
--=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭
，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n= ．
4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图
523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ．
6．化简：()
()122222246812n n +-+-++-= ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ．
8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ．
9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ．
10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．
二、解答题（本大题共50分）
1．已知方程x 3+ax 2
+b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．
2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得
（l ）最大角是最小角的两倍？
（2）最大角是最小角的三倍？
若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281
ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。

4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）．
5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，⋯， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数
r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?。